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素数 反例

素数が無限であることの証明について。 http://homepage2.nifty.com/mathfin/hairihou/hairihou03.htm 素数が無限個でないことがある。すなわち,素数が有限個であることがあると仮定し、                                           (反例の存在を仮定)  その個数をn個とする。すべての素数を小さい方から順に          P1,P2,P3 ,・・・・・・,Pn      とおける。ここで,           P = P1×P2×P3×・・・・・・×Pn + 1    により,自然数Pをつくると,    Pは, P1,P2,P3 ,・・・・・・,Pn のいずれで割っても1余る。      よって,Pは1と自分自身以外に約数を持たないから素数である。    これはPnよりも大きい素数が存在することを意味しており,矛盾が生ずる。    よって,素数が有限個であることはない(反例は存在しない)     ゆえに,素数は無限に存在する --------------------------------------------- P=2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 59 × 509 という反例がありますが、 上記の証明は間違いということですか?

みんなの回答

回答No.6

Pn+1~√(P)で割り切れないことを証明していないので 駄目です。素数であることの基本です。

  • 178-tall
  • ベストアンサー率43% (762/1732)
回答No.5

>Pは, P1,P2,P3 ,・・・・・・,Pn のいずれで割っても1余る。 >よって,Pは1と自分自身以外に約数を持たないから素数である。      ↓ P が 1 および P 自身以外に約数を持つとすれば、それは max{Pn} を超える素数である。 …って、どこかに書いたことの繰り返しだよネ。   

62m652627de37
質問者

お礼

ご回答ありがとうございます。 >max{Pn} を超える素数 がよく理解できておりません。

回答No.4

>P=2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 59 × 509 という反例がありますが、 >上記の証明は間違いということですか? 17も素数だよね、といわれてしまうと反例が粉砕されてしまいます。 要は、素数の積+1 は素数という推論は、それを証明しない限り使えないということです。

62m652627de37
質問者

お礼

ご回答ありがとうございます。 結局、URLは証明としてはダメということなのでしょうか?

回答No.3

>P=2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 59 × 509 という反例がありますが、 >上記の証明は間違いということですか? 反例になっていません。現在何個の素数が見つかっているか知りませんが、相当多くの素数がみつかっています。で証明は「何個あるかは現在分かってないけれど、有限とすると2,3,5,・・・,Pnと並べて・・・」と言っているのです。つまり有限個としたらその【有限個の全ての素数の積+1】も素数になってしまうじゃん。といっているのです。上記の反例は【全ての素数の積+1】になっていないでしょう?

62m652627de37
質問者

お礼

ご回答ありがとうございます。 P=2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 59 × 509 という反例 のように、 【全ての素数の積+1】が素数でない可能性もあると思いますが。

  • FEX2053
  • ベストアンサー率37% (7991/21371)
回答No.2

ごめんなさい一部訂正 1.Pが素数ならば、これは初めの素数以外なので矛盾 2.Pが合成数なら、初めの素数以外の積になるので矛盾

62m652627de37
質問者

お礼

ご回答ありがとうございます。

  • FEX2053
  • ベストアンサー率37% (7991/21371)
回答No.1

>Pは1と自分自身以外に約数を持たないから素数である。 ここがまちがい。 1.Pが素数ならば、これは初めの素数以外なので矛盾 2.Pが合成数なら、初めの素数以外になるので矛盾 これが正しい解です。

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