微分

質問

問）Solve dy/dx = (10x – 1) / (4 + 3y²)

模範解答と模範途中式）∴ (4 + 3y²) dy/dx = (10x – 1)
∴ ∫ (4 + 3y²) dy = ∫ (10x – 1) dx
∴ 4y + y³ +C1 = 5x² – x +C2　（ア）（タイプ出来ませんでしたがこのCについている１，２は小さいです）
∴ 4y + y³ = 5x² – x +C　（イ）
∴5x² - y³ = 4y + x – C　（ウ）
∴5x² - y³ = 4y + x ＋A　（エ）

理解出来ないのは何故　何故　イ）で　C　がひとつになるのですか？　最終的に　C　は一つにならないといけない、とは思うのですがどうやって処理するのですか？　C２　－　C１　は２－１だからCがひとつだけ残るのですか？

エ）で何故　C　が　A　に変わるのですか？

どなたか教えて頂けますか？

回答No.3

sunflower-san · ベストアンサー

(ア)→(イ)について

「２－１だからCがひとつだけ残る」わけではありません。

まず(ア)の段階では 問) の微分方程式を解いた結果、C1, C2 はどのような数であっても 問）の微分方程式を満たす、ことが導かれました。
しかし、
(1)「4y + y³ +C1 = 5x² – x +C2, 　ただしC1, C2 は任意にとってよい」
というのは何も両辺に定数を振り分けて書かなくても
(2)「4y + y³ = 5x² – x +C, 　ただしC は任意にとってよい」
というのと同値です。
むしろ(1)の言い方だと、
4y + y³ +3 = 5x² – x +7
も
4y + y³ +4 = 5x² – x +8
も同じ解を与えますので表記に冗長性がありますよね。
(2)の書き方だと、
4y + y³ = 5x² – x +4
となり、同じ解に対して表し方は一通り(冗長性のない表し方)になりますよね。

(ウ)→(エ)について

問題に初期値などに関する条件は書かれていましたか？
そうでなければ、単に任意定数の部分をマイナスで表記したくなかったから、A = -C とおいてプラスで書きなおしたというだけだと思います。

お礼

＞問題に初期値などに関する条件は書かれていましたか？

いえ、u-tube　からの問題でこれ以上の条件はありませんでした。

詳しくいろんな事を説明して下さり助かりました。
有難うございました。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

C2-C1=C とするだけです。単なる置き換えです。
C2 と C1 も任意定数なので、まとめて1個の任意定数にしても問題ありません。

また A=-C なのでしょう。

なぜわざわざ置き換えるのか不明ですが・・・

お礼

単なる置き換えと聞いてホットしました。有難うございました。

回答No.1

naniwacchi

C1-C2だろうが、-Cだろうが、「定数」であることは同じなので、
改めて書き直しているだけですよ。

お礼

わかりました、考えすぎた様です。　
ご解答頂き有難うございました。