共分散と相関係数について

質問

ファイナンス（証券投資）の勉強をしているのですが、共分散と相関関数でどうしても理解できない部分があるので、こちらのカテゴリで質問させて頂きます。

１．具体例（前提）
A証券とB証券のポートフォリオ効果を調べるために、両者の相関性を計算します。

A証券の環境変化（期待収益率＝平均収益率：20%*0.4+10%*0.4+5%×0.2=13%）
為替相場：円高→確率：0.4→収益率：20％→偏差：7％
為替相場：不変→確率：0.4→収益率：10％→偏差：-3％
為替相場：円安→確率：0.2→収益率：5％→偏差：-8％

A証券の標準偏差：7*7*0.4+(-3)*(-3)*0.4+(-8)*(-8)*0.2の平方根=6%

B証券の環境変化（期待収益率＝6%）
為替相場：円高→確率：0.4→収益率：3％→偏差：-3％
為替相場：不変→確率：0.4→収益率：7％→偏差：1％
為替相場：円安→確率：0.2→収益率：10％→偏差：4％

B証券の標準偏差：≒2.68%

２．質問
(1)共分散について
この場合に、共分散は、Σ（A証券の偏差×B証券の偏差×確率）で求められると記述があります。
A証券の偏差×B証券の偏差の平均をとったものだと思います。
上述の例では、共分散は、結果的に－16になります。

この際、共分散の数値が正（＋）である場合は、同方向、負（－）である場合は、逆方向の相関性があるというのは、掛け算の性質から理解できます。
その上で、共分散の絶対値は、２つの証券の相関性の程度であって、絶対的が大きい程、相関性は高いと記述がありまして、ここで理解できずにいます。

なぜ、両者の偏差を掛け合わせることで、両者の相関性の程度が計算できるのでしょうか？
例えば、一定条件のA証券の偏差が1%、B証券の偏差が2%の場合は、1*2=2と計算されますが、仮にA証券の偏差が19%、B証券の偏差が20%の場合は、19*20=380になります。
相関性というならば、両者は同方向に1%しか差がないにもかかわらず、相関性として計算される数値は雲泥の差です。
この点についてご教示頂ければと思います。

(2)相関係数について
相関係数は、共分散／（A証券の標準偏差×B証券の標準偏差）で求められると記述されています。
上記の例の場合は、-16/6%*2.68=-0.995と非常に高い負の相関性があります。

そしてこの式は、共分散（A証券の偏差×B証券の偏差の平均）を両証券の標準偏差（偏差の正数値の平均）で割ったもので、これが-1～1の間で推移することは理解できます。

ただ、上記の共分散と同様に、両者の偏差（及び標準偏差）を掛け合わせることで、両者の相関性の程度が計算できる理屈がわかりません。

この点についてご教示頂けないでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.1

kmee · ベストアンサー

雑に説明します。

こういう解析では、正規分布するものだとして行なわれています。
正規分布では、期待値に近い程、発生する確率が高くなります。
偏差は、期待値との差ですから、偏差の絶対値が小さいほど期待値に近い=よくあること、絶対値が大きい=期待値から遠い=めったに無いこと です。

> A証券の偏差が1%、B証券の偏差が2%

これは、どちらも絶対値が小さいので「よくあること」です。
「よくあること」なので、相関があろうがなかろうがよく発生します。
なので、 数回程度の結果から結論を出すのは問題です。
よって、小さな値で影響を減らします。
塵も積もれば、ではありますが、相関が無ければ、同程度の「反対の値」が出るので、打ち消されて0に近付きます。

>A証券の偏差が19%、B証券の偏差が20%

こちらは、どちらも「めったに起きない」ことです。
相関が無いのなら、Aでめったに起きないことが起きたとしても、Bには影響はなく、B は「よくあること=絶対値が小さい」になる可能性の方が高いです。
ところが、Bでも「めったにない」ことが起っています。
もちろん、偶然そうなる可能性はありますが、それの確率は小さいはずです。ということは、関係があるからこそそうなっている可能性の方が高いと言えます。
よって、大きな値で影響を強くします。

お礼

なるほどそういうことだったんですね。
ご回答ありがとうございました。