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分散効果の寄与度について
ポートフォリオを組んで分散投資をすると個々の資産のリスクの単純合計よりもポートフォリオのリスクが小さくなることを分散効果と呼びます。 その分散効果を、各資産別に分解して寄与度を集計する方法を考えているのですが、上手く行きません。考え方と計算式を教えていただけないでしょうか。 今使っている計算式 ポートフォリオのリスク率の計算式 ポートフォリオのリスク率の２乗＝(資産Aの投資比率の２乗＊資産Aのリスク率の２乗＋資産Bの投資比率の２乗*資産Bのリスク率の２乗＋資産Cの投資比率の２乗＊資産Cのリスク率の２乗＋【２*（資産Aのリスク率*資産Bのリスク率*資産Aの投資比率*資産Bの投資比率）*資産AとBの相関係数＋２*（資産Aのリスク率*資産Cのリスク率*資産Aの投資比率*資産Cの投資比率）*資産AとCの相関係数＋２*（資産Bのリスク率*資産Cのリスク率*資産Bの投資比率*資産Cの投資比率）*資産BとCの相関係数】） 今の考え方 相関係数が１よりも小さい場合、分散効果が発生するので【】で囲んだ箇所で分散効果が発生すると考えました。 資産Aの場合、「２*（資産Aのリスク率*資産Bのリスク率*資産Aの投資比率*資産Bの投資比率）*資産AとBの相関係数」について相関係数が１の場合より小さい額を算出し、算出した額を「投資比率×リスク率」の割合でAとBに按分し、同じくAとCも計算して、Aの分を集計すれば、Aの分散効果寄与額が出るはず。 しかし、AからCの寄与額を合計すると、ポート全体の分散効果額よりも大きくなってしまい。間違いなのかと悩んでいます。
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ポートフォリオに関しては素人なのですが、ネットと調べてみて考えてみました。 まず、質問者様の分散効果の定義が間違っているようですよ（ＵＲＬ参照）。 正しくは、任意のリターンについてポートフォリオのリスクが個々のリスクの 加重平均を下回ること、ではないでしょうか。 結論から述べますが、各資産の寄与度は各資産の投資比率、各資産の寄与額 は（リスクの単位が％であるとすれば）各資産の投資比率×[リスク（標準偏差）の減少分／100]×ポートフォリオへの投資額、だと思います。 わかりやすくするため、以下では２資産（Ａ，Ｂ）のケースについて、記号を使って あらわしますね。 μ：目標リターン、所与 t：資産Ａの投資比率、μの関数 σa：資産Ａのリスク（標準偏差） σb:資産Ｂのリスク σc：ポートフォリオのリスク、t=1のとき σc=σa , t=0のとき σc=σb X：投資額（円） としましょう。そうすると、あるμに対しての分散効果VEは VE = t*σa + (1-t)*σb - σc となると思います。資産Ａの寄与度がtになるのはこの式からなんとなく わかると思います。というのも、t=1（Ａだけに投資）のとき、ＶＥは ゼロになりますし、同様にt=0のときもＶＥはゼロになります。 VEの単位は％ですよね？確か。ということは、ポートフォリオを組むことで VE（％）だけ各資産のリスクの加重平均値よりも減少させることができた ということになりますよね。したがってお金（額）に換算するなら、ＶＥを １００で割ったものに投資額をかけた、投資額のリターンの標準偏差が 分散効果額（？）なのでは？つまり、資産Ａの分散効果額は t*（ＶＥ／１００）*X となるのではないでしょうか。
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- elimakitok
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先にANo.3でANo.2に補足を行いましたが、その後考えてみてこの補足の内容が正しいとはいえないと気がついたので、回答が未だ締め切られていないのを幸い、更に次の５．を付け加えます。 ５．分散効果ＶＥを上のように定義したとして、ポートフォリオ全体のリスクＲを投資比率で各投資資産に按分するのは、しかしながら適切ではないと考えられます。これによると各資産の寄与は、Kab=Kbc=Kca=1 の場合（このとき R=Xa*Ra+Xb*Rb+Xc*Rc であり、ＶＥ＝０となる）でも、例えばＡの寄与 Xa(Ra-R) はプラスにもなればマイナスにもなりますが、正しくはこの場合、いずれの資産の寄与も０であるべきでしょう。 上の２．によればＲへの各投資資産のリスクからの寄与はＱａ etc であることから、ＶＥにおけるＲの各資産への按分は３．に示した関係によるのが妥当で、このとき例えばＡの寄与ＶＥａは VEa=XaRa-Qa=XaRa[1-(XaRa+KabXbRb+KcaXcRc)/R] となるでしょう。これによれば、各資産の寄与はいずれもプラスであり、Kab=Kbc=Kca=1 のとき、またそのときに限ってそれら寄与はいずれも０になります。
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とても丁寧にお教えいただきありがとうございます。 お礼が大変遅くなりましたが、無事、目的を達成できました。 elimakitokさんを始め、皆様、ありがとうござます。
- elimakitok
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ＡＮｏ．２に下記を追加します。 ４．上のＱａ，Ｑｂ，Ｑｃはポートフォリオ全体のリスクＲに対する各投資資産の寄与で、分散効果への寄与ではありません。分散効果への寄与は分散効果をどのように表わすかによりますが、仮りにＡＮｏ．１さんの定義を用いるとすれば VE=Xa*Ra+Xb*Rb+Xc*Rc-R=Xa(Ra-R)+Xb(Rb-R)+Xc(Rc-R) （ Xa+Xb+Xc=1 ですから） となり、ＶＥへの例えばＡの寄与は Xa(Ra-R) ということになるでしょう。
お礼
お教え頂きありがとうございます。 確かに分散効果の寄与について、明確な定義はなさそうですね。 経済学などで検索したら、分散効果の”限界”効用度とかいう用語も出てきて、疑問が増してしまいました。 取り敢えず、ある静止状態での寄与量がエクセルで計算できれば、私の目的は達成できるので、今回は、相関係数が１未満であることの影響量を分散効果（量）と考えさせてください。
- elimakitok
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やむを得ず数式を使って記述します。 １．投資資産Ａ，Ｂ，Ｃにかかわる量を添字ａ，ｂ，ｃで表し、資産比率をＸ、リスク（率）をＲとすると、ポートフォリオ全体のリスクＲは質問にある通りに R*R=(Xa*Ra)(Xa*Ra)+(Xb*Rb)(Xb*Rb)+(Xc*Rc)(Xc*Rc)+2[Kab(Xa*Ra)(Xb*Rb)+Kbc(Xb*Rb)(Xc*Rc)+Kca(Xc*Rc)(Xa*Ra)] で表わされます。Kab、Kbc、Kca はリスク相関係数です。 ２．問題は、ポートフォリオ全体のリスクに対する各資産のリスクの寄与度がどのように定義されるかですが、筆者は残念ながら学問的に正確な定義を知りません。しかしながら、次のように考えるのが妥当と感じます。「一つの投資資産のリスク寄与度は、そのリスクの変動がポートフォリオ全体のリスクにどれだけの変動をもたらすかという変動の比（いわば感度）によって測られる。ただし、感度が大きくてもリスク自体が小さければ影響はそれだけ限定されるので、寄与度は感度*リスクで定義されるだろう。」 これを式で書くと、寄与度をＱとして、例えばＱａは、感度が)∂R/∂Ra ですから Qa=Ra*(∂R/∂Ra) =(Ra/R)[Xa*Xa*Ra+Kab(Xa*Xb*Rb)+Kca(Xa*Xc*Rc)] となります。 ３．筆者の定義が尤もらしくみえる一つの証拠は、それに基くと Qa+Qb+Qc=R となることです。
お礼
お教えいただきありがとうございます。 VE = t*σa + (1-t)*σb - σc この式で、わかるようになりました。 ｔが、リスク額の比率ではなく、投資額の比率というのが、まだ感覚的にすとんと落ちないのですが、数式にするとなるほど、という思いです。 丸一日考えても、数値が合わなかったのは、やはり根っこの考え方が違っていたのですね。 ありがとうございました。