ベクトル空間について

質問

次のM2×2(C) cは複素数体　の部分集合は部分空間はであることを示し、その次元を計算せよ。
V=<[x 　 y　　-y 　x]/x,yはc> （行列は上２つ、下２つを順に書きました。）
という問題です。行列がうまく書けず、つたないですが、わかるかたお願いできないでしょうか。
答えの次元は2でした。単純に4つの行列にわければ、１次独立になるためそれでできると思っていましたが、違うようです。わからないのでぜひおねがいします。

回答No.2

echoes_x86

こんばんは．
質問を投稿する時には必ず推敲しましょう．
話し言葉で頭から書いても何を言っているのか伝わりません．

以下，適当な意訳(間違っている場合は補足をお願いします)．
行列Mを以下の形の 2*2 行列であるとします．
[ x y]
[-y x]
ただし，x,y∈ Cである(Cは複素数体)．
簡単に言うと次の条件(*)を
・対角要素が等しく
・非対角要素の和が零
満たす行列です．これらの集合Vが 2*2 行列の空間の部分空間を作るかという問題とします．

まず，k∈ Cに関して，スカラー倍 k*Mは次の行列です．
[ k*x k*y]
[-k*y k*x]
これは上記の条件を満たしますから，k*MはVの元です．
Vの別の元である以下の行列M'を考えます．
[ x' y']
[-y' x']
これに関して，和 M + M' は以下の行列になります．
[ x+x' y+y']
[-y-y' x+x']
これもVの元であると分かります(Vが部分空間である証明)．

さて，質問者様は以下のような「基底」を作って，
Vが4次元であると考えたのでしょうか？
[x 0]
[0 0]，
[0 y]
[0 0]，
[ 0 0]
[-y 0]，
[0 0]
[0 x]
です．確かに和とスカラー倍で他を作れないので基底になりそうですが，
これらはいずれもVの元ではありません．
上記の条件(*)を満たさないからです．
Vの元である行列の要素のうち，自由に決まるのはxとyですから，
基底はこれに着目して作るのが良いでしょう．
(例えば)次の2つの行列XとYになります．
[x 0]
[0 x]，
[ 0 y]
[-y 0]
a，b∈ Cとして，
a*X + b*Y
でVの全ての元を記述できますから(証明略)，
基底はXとY，すなわち次元数は2です．

お礼

文章が汚く、申し訳ありませんでした。推敲するようにします。
また、とてもわかりやすい回答をありがとうございます。参考になりました。

回答No.1

koko_u_

>単純に4つの行列にわければ、１次独立になるためそれでできると思っていました

意味わからん。
「単純に4つの行列にわける」とは？
何が「１次独立になる」？

補足にどうぞ。

補足

申し訳ありませんでした。
echoes_x86様にご回答いただいた通りです。きちんと推敲するようにします。