球面S^(n-1)のC∞級曲線c(t)の二回微分

質問

多様体の本を読んでいて、
単位球面S^(n-1)のC∞級曲線c(t)の二回微分の式が以下のように表わされていました。

c''＝<c'', c>c＋[c'']^T

ここで< , >は内積、[c'']^Tはc''(t)のT_(c(t))S^(n-1)成分を表わしています。（T_(c(t))S^(n-1)は接空間です）
なぜこのような式でc''が表わされるのかがわかりません。
大変恐縮ですが、どうしてそうなるのか教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

多様体の話とは言いながら、ご質問はn次元ユークリッド空間に埋め込まれたS^(n-1)の話であって、cはユークリッド空間中のベクトルということでしょうかね。さらに、S^(n-1)と言っているのが単位球であり、つまりn次元空間の原点が球の中心と一致していて半径が1だという話のように思われます。中心から球面上のある点（これをCとしましょう）へのベクトルがcで、|c|=1です。
　ここで勝手なベクトルaについて考えます。まず、<a, c> c は「aの、単位ベクトルcと平行な成分（すなわちCにおいて球面に垂直な成分）」です。で、点Cにおける接平面Tとはcと直交する平面のこと。従って、[a]^Tとは「ベクトルaから単位ベクトルcと平行な成分を除いたもの」に他ならない。つまり、
　a = <a, c>c + [a]^T
というのは、ベクトルaを、Cにおいて球面に垂直な成分とそれ以外の成分とに分解した、というだけの式です。

お礼

詳しく回答していただきありがとうございます。
とてもわかりやすく、納得できました。