Ｃ１級多様体とＣ∞級多様体

質問

多様体の教科書の最初の方で、「滑らか」という言葉
がよくでてきます。それが連続微分可能のときといくらでも
微分可能なときがあるようですが、ある本で「Ｃ１級の構造を
多様体が持てば、Ｃ∞級の構造を持つので、滑らかの意味は
このどちらでもある意味変わりない」とありました。
早速この証明をいろいろしらべたのですが、なかなかありません。
ザードの定理？を使うらしいのですが、だれか証明かそれが
のっているような（ネット上のＵＲＬなど）を教えてください。

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

ご質問の内容は
　志賀浩二「多様体論」（岩波書店）p.90,定理 1.12
です。一方、Ｃ0級多様体は微分構造を持つとは限らないし持つ場合でも一般に一意ではありません。つまりＣ0級とＣ1級以上は本質的な差があり、Ｃr級(1≦r≦∞)は初等的に証明できる(といっても証明があるのは私の知っている範囲では上記の本だけですが)のに対し、Ｃ0級の場合は微分位相幾何学の深い主題で一般論の枠をはるかに超えるとされてきました。実際いわゆるエキゾチックな多様体はミルナーやドナルドソンのフィールズ賞の対象になったしゲージ理論が応用され新たな展開が生まれています。
　深谷賢治「ゲージ理論とトポロジー」（シュプリンガー）

お礼

ありがとうございます。
調べてみたいと思います。
家を離れており、お礼が遅れて申し訳
ありません。