絶対不等式を解くときの判別式の不等号の向きについて

質問

絶対不等式に対する違和感を解決したいのですが

すべての実数xに対して
x^2-10x+k>0
が常に成立するkの範囲を求めるとき

判別式D<0とするようですが
そうすればxは虚数としかなりえず、xが実数になることがありえないと思うのですが
この違和感の解決をど素人にわかりやすく解説お願いします

回答No.1

nananotanu · ベストアンサー

虚数、とかじゃないんです。

方程式じゃなくて、解こうとしているのは「不等式」です。

x^2の係数が正の数、ですから、x^2-10x+k＝０という「方程式」を考えてみましょう。
ｙ＝x^2-10x+k　という式を考えると、そのグラフは下に凸の放物線ですよね。
そして、その放物線がｙ＝０、即ちx軸と接するか交わるかすれば、上記方程式は「実数解をもつ」ことになります。逆に、実数解をもたない時(解を持ったとしても虚数)は、常にx軸より上にあることになりますね、ｙ＝x^2-10x+kのグラフは。
　　　下に凸、ということは頂点がｙの最低値。解が無い、ということは、頂点がx軸より上、ってことです(下なら、頂点から上に上がっていく途中で必ずx軸と交わるから)

さて、x^2-10x+k>0が常に成り立つ、というのは、上記のように、y=・・・のグラフが常にx軸より上にあること、即ち、x^2-10x+k＝０という「方程式」が実数解をもたない事、つまりはD<0が成り立つ、ってことです。

方程式の解を求めているんじゃないんです。

お礼

なるほど、私のようなど素人には「解こうとしているのは方程式でなく不等式だ」という一言でピンときました。
よくわかりました、ありがとうございました。

回答No.4

gohtraw

ｘ＾２－１０ｘ＋ｋ＝（ｘ－５）＾２－２５＋ｋ
この式の値がすべての実数について正であるためには
－２５＋ｋ＞０
ｋ＞２５

一方
ｘ＾２－１０ｘ＋ｋ＝０とおいたときの判別式は
D=１００－４ｋ
D<0とすると
１００－４ｋ＜０
ｋ＞２５

いずれも同じことをやっているのですが、上の方は納得できますか？

次に、ご質問の
＞判別式D<0とするようですが
＞そうすればxは虚数としかなりえず、xが実数になることがありえない
というのは、正確には、
そうすればｘ＾２－１０ｘ＋ｋ＝０の解は虚数となり、実数解とはならない
ということです。
実数解を持たないのだからｘ＾２－１０ｘ＋ｋ＜＝０とはなり得ないという
ことです。

お礼

実数解をもってはいけないということですね
よくわかりました、ありがとうございました

回答No.3

asuncion

付け加えると、その問題は、そもそも「絶対不等式」ではありません。

絶対不等式とは、
| x^2 - 10x + k | > 0
のように、不等式の中に絶対値記号が登場するものを指します。

回答No.2

asuncion

x^2 - 10x + k > 0
がすべての実数xについて成り立つとは、
左辺 = 0とおいて得る2次方程式がx軸との交点を持たない、
つまり実数解を持たないことと同値である。
要するに、y = x^2 - 10x + kのグラフを考えたとき、
常にx軸より上側にある、ということ。
2次方程式が実数解を持たないことは、判別式 < 0 と同値である。

お礼

実数解をもたないというところがポイントですね
よくわかりました、ありがとうございました