【方程式・等式への利用】

質問

2つの関数をｆ（ｘ）=8x^2+16x-ｋ、g(x)=2x^3+5x^2+4xとおく。
ただし、ｋは実数

(1)-3≦x≦3の範囲の任意のｘに対して、
常に、ｆ（ｘ）≦ｇ（ｘ）となるためのｋの値の範囲は？

(2)-３≦ｘ1≦３、-３≦ｘ2≦３の範囲の任意のｘ1、x2に対して、
常に、f(x1)≦g(x2)となるためのｋの値の範囲は？

答え
(1)k≧４５
(2)ｋ≧１４１

答えしかないので、
解説お願いしたいです(><)

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

(1)
変形すると　K≧-2X＾3+X＾2+12X　が　-3≦x≦3で常に成立する条件を求める。
従って、K≧右辺の最大値　であればよいから　微分して　-3≦x≦3の変域で最大値を求める。
そうすると、模範解答のとおりになる。

(2)書き込みが面倒だから、αとβに書き換える。

-３≦α≦３、-３≦β≦３の範囲の任意のα、βに対して、常に、f(α)≦g(β)となるためのｋの値の範囲は？

これについては、2つの解法が考えられる。
(解法-1)
K≧8α＾2＋16α-(2β＾3＋5β＾2＋4β)　として、2変数問題と考える方法。右辺の最大値を考える。
先ず　次数の高いβを固定して(定数と考えて)やると、8α＾2＋16αを動かすと平方完成すると　条件から　α＝3で最大となる。
その時　右辺は　120-(2β＾3＋5β＾2＋4β)だから　今度は　βを動かして(微分が必要)最大値を求める。
K≧右辺の最大値　から答は出る。

(解法-2)
これはちょつと考えにくいだろうが、左辺の最大値≦右辺の最少値　として考える方法。
左辺の最大値は　平方完成すると　条件から　α＝3で最大となる。
右辺の最小値は微分すれば　すぐ出る。
続きは、自分でやって。

いずれの解法でも　-３≦α≦３、-３≦β≦３　を忘れないように。

回答No.1

noname2727

(1)g(x)-f(x)を計算して増減表を書いて０以上になるようにｋを定める
(2)ｆ（ｘ）の最大値とｇ（ｘ）の最小値を比較して求める。
方針はこんなところではないでしょうか？