微分について（自然対数）

質問

すみません自然対数の微分 y=e^(1/x)のy'=及びy''=をわかる方教えて頂けませんか？　使用する方式も教えて頂ければ幸いです。よろしくお願い致します。

回答No.2

eiji2003 · ベストアンサー

y = e^(1/x)　
⇔log(y) = 1/x

両辺をxで微分すると
y'/y = -1/(x^2)
y'　= -1/(x^2) * y ・・・(1)
これでy'が求まります。（yはxの関数にしてください）

y''は(1)式を微分すればＯＫです。

補足

eiji2003様から回答のほうをいただきありがとうございます。
しかしながら参考書等を参考にして考えてみたのですが
まだ理解できず、すみませんがどなたかもう少し教えてください。
y = e^(1/x)　
⇔log(y) = 1/x
上記のlog(y) = 1/xはlog(x)' = 1/x　対数微分の微分か
ら置き換える事ができるのですか？

＞両辺をxで微分すると
y'/y = -1/(x^2)
上記の両辺をxで微分で微分するとy'/yになるのはなぜですか？
大変すみません煮詰まってしまっています
よろしくお願い致します

回答No.1

hinebot

対数ではなく指数（関数）だと思いますが…。

合成関数の微分の公式を使います。
y=f(t), t=g(x)のとき
y'=dy/dx = (dy/dt)*(dt/dx) =f'(t)*g'(x)

y=e^(1/x)　で、t=1/x =x^(-1) と置きます。

あとはご自分で考えてください。