解析学の質問です（２）

質問

問題
　d/dx(1/4tan^-1 * (2x + 1)/√3)を求めよ。

解答
　テキストによると、d/dx*tan^-1 u = 1/(1+u^2)*du/dx　らしいです。
　以上の公式を使って、次のように解いてみましたが、これは正しいのでしょうか？
　ちなみに、テキストには類題も載っていますが、答えの数値だけ書いてあり、途中計算などはないので全く役に立ちません。

　d/dx(1/4tan^-1 * (2x + 1)/√3)=1/4*d/dx*tan^-1*(2n+1)/√3
=1/4*1/{1+(4x^2+4x+1)/3}*d/dx{(2x+1)/√3}
=1/4*3/4(x^2+x+1)*3√3/3
=3√3/16(x^2+x+1)

となったのですが、全く自身がありません。
あと、そもそもかもしれませんが、tan^-1というのは、何者なのでしょうか。
逆正接関数だという名称はテキストに書いてあるのですが、求め方が書いてないのでさっぱりわかりません。
なお、テキストのヒントには、上の問題は、d/dx*tan u = sec^2u du/dx　と書いてありますが、上の問題はtan^-1が出て来るので、誤植なんじゃないかと疑問に思います。
どなたか、私の疑問を解決してください。
お願いします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

d/dx((1/4)tan^-1((2x + 1)/√3)

u=(2x + 1)/√3とおくと du/dx=2/√3なので

　=d/du((1/4)tan^-1(u))*du/dx
　=(1/4)d/du(tan^-1(u))*du/dx

公式：)d/du(tan^-1(u))=1/(1+u^2)を用いて

　=(1/4)*(1/(1+u^2))*(2/√3)

u=(2x + 1)/√3を代入して変数をxに戻すと

　=(1/4)*(2/√3)*(1/(1+((2x+1)/√3)^2)))
　=(1/(2√3))*(1/(1+((4x^2+4x+1)/3)))
　=(1/(2√3))*(3/(3+(4x^2+4x+1)))
　=((√3)/2)*(1/(4x^2+4x+4))
　=(√3)/(8(x^2+x+1)) 　　　　　　　…　（答）

>テキストによると、d/dx(tan^-1(u)) = (1/(1+u^2))*(du/dx)　らしいです。
部分的に抜粋した式では、回答できません。
　d/du(tan^-1(u)) =(tan^-1(u))'= 1/(1+u^2)
という公式ならあります。

>以上の公式を使って、次のように解いてみましたが、これは正しいのでしょうか？
正しくないです。

>となったのですが、全く自身がありません。
途中で計算ミスしてます。
「自身」→「自信」でしょう。

>あと、そもそもかもしれませんが、tan^-1というのは、何者なのでしょうか。
ただ、あなたが勉強不足なだけでしょう。アークタンジェント(arctangent)と読み、
arctan(x), tan^-1(x)（同じ意味の表記でアークタンジェント・エックスと読む）は、tan(x)(タンジェント・エックスtangent x)の定義域を区間(-π/2,π/2)に制限した関数Tan(x)の逆関数になります。

>逆正接関数(arctangent function)だという名称はテキストに書いてあるのですが、求め方が書いてないのでさっぱりわかりません。

何の求め方ですか？tan^-1(x)の導関数（微分）の求め方なら、教科書や参考書に載っています。調べればどこにでも載ってるし、単にあなたの調査（勉強）不足でしょう。

>なお、テキストのヒントには、上の問題は、d/dx*tan u = sec^2u du/dx　と書いてありますが、

式の部分抜粋しての引用は回答者には理解できません。載せるなら完全抜粋して引用してください（uとxの関係式が書かれていないだろ！）。

>上の問題はtan^-1が出て来るので、誤植なんじゃないかと疑問に思います。
誤植ではない。あなたの洞察力不足（未熟）なだけでしょう。

tan^-1(u)の導関数（微分）を求める以下の過程で公式：d/du(tan(u))=sec^2(u)
が使われます。これがヒントに書かれている内容でしょう。

　y=tan^-1(x) → tan(y)=x
xで微分すれば
　sec^2(y)y'=1
　y'=cos^2(y)=1/(1+tan^2(y))=1/(1+x^2)　（導出完了）

とtan^-1(x)の微分公式も案外簡単に導出できるでしょう！
（これは高校数学レベルだよ。）

お礼

詳しい解答ありがとうございました。
おかげで直ぐに理解できました。
感謝いたします。