時速６０Km/H ＋ 時速６０Km/H の問題です

質問

お世話になります。

自分が乗っている時速６０Km/Hで走っている電車の前方から、時速６０Km/Hでこちらに向かっている電車の速度は１２０Km/Hに見えるのですが、実は１２０Km/H未満が正解だったと思います。

計算の仕方を忘れてしまいました。

どなたか教えてください。よろしくお願い致します。

回答No.5

noname#195146 · ベストアンサー

お礼、ありがとうございます。#1です。

>もしも自分の乗っている電車が秒速２０万Kmで進んでいて、前方からも秒速２０万Kmでこちらに向かっている電車があるとき、

　そういう定性的なことですと、光速度不変の原理で考えることができます。

　前方の電車がこちらに向けて光を放つとどうなるでしょうか。その光も秒速30万kmという速度になる、というのが光速度不変の原理です。どんな条件で放たれた光であれ、どんな慣性系からでも同じ秒速30万kmです。

　さて、前方の電車に乗り移ったとして考えてみます。光を前方に向けて放てば、自分の電車より先に光は進みます（この光も秒速30万km）。自分をどんどん引き離して進んでしまいます。そして自分より早く他方の電車に到達します。

　再度、元の電車に戻ってみます。前方の電車が放った光は、前方の電車より早くこちらに届きます。その光は秒速30万kmなのでした（光速度不変の原理）。それより遅れてこちらとすれ違う電車は、光速度より遅いことになります。

　もう少し複雑にしてみましょう。

　電車１の上に電車２を走らせます。どちらも速度は同じ秒速20万kmとしておきます。それを駅のホームから眺めているとします。。ニュートン力学では、20万＋20万＝秒速40万kmとなり、光速度（秒速30万km）を超えます。

　ここで光速度不変の原理を使ってみます。電車２に乗ったと考えて、電車２から前方に光を放ちます。光は秒速30万kmで自分の前方を進んで行きます。

　この状況で電車１から考えてみます。電車２が放った光は、電車１から見ても秒速30万kmです（光速度不変の原理）。その光は電車２を引き離しながら進んで行くのでした。だとすると、電車１からすれば、電車２は秒速30万kmより遅い。

　さらに駅のホームから考えてみます。電車２から放たれた光は、やはり秒速30万kmであり、電車２を引き離して前方に進んで行きます。それなら、駅のホームから見ても、電車２は秒速30万kmより遅いということになります。

　電車を何段重ねにしようと、同じことになります。光速度は超えられません。この状況を先の速度の合成則で見てみます。

W＝(v+V)/{1+(vV/c^2)}
＝(v+V)/{1+vV}　←式が変形しやすいようc＝1と置いた：定数なので任意に決めて良い
　＝1－{(1－v)(1－V)/(1+vV)}

　c＝1としたので、vやVが1未満、つまり光速度未満であればカッコの中は0より大きいですから、W＜1です。ですので、光速度未満であることが分かります。

　いかに光速度に近い速度の電車を二台使おうとも、光速度にはなれないわけです。二台合わせても光速度未満ですから、さらに何台持って来ても同じ、光速度未満にしかなりません。

　もし、vかVのどちらか一方でも光速度であれば（v＝1やV＝1）、カッコの中は0となり、W＝1、つまり光速度となります。どんな速度を持っていようが、そこから放った光は必ず光速度であることも、速度の合成則の式は示しています。

お礼

再度の回答感謝します。今日は私の思考回路がまともです（笑)。

ご丁寧な説明をしてくださったおかげでなんとか理解することができました。

W＝(v+V)/{1+(vV/c^2)}
この計算は形こそ違いますけれど、＃２さんの
合成された速度＝（Ａ＋Ｂ）／（1+ＡＢ/(ｃ^2)）と同じものですね。

ここから
　1－{(1－v)(1－V)/(1+vV)}に式を変形させて、いずれかの（　）の中が０になると観測される速度が光速になるということは計算上当たり前のことかもしれませんが、このようにして教えてもらわなければ気が付くことはできなかったと思います。

＃２さんの回答でうっすらと記憶が戻ってきて、この回答で記憶が戻ったことに加えて良いことを学ばせていただきました。

そのような訳で＃２さんには申し訳ありませんが、この回答をベストアンサーにして質問を締め切らせていただきます。

皆様どうもありがとうございました。

回答No.4

CC_T

あ、さっきの速度10m/sって書いたの、1m/sの誤植ですね。

お礼

了解

回答No.3

CC_T

・・・こういう事を言いたいのだろうか？

10m/sで進む列車Ａと、5m離れた隣の線路を反対方向に10m/sで進む列車Bで考えてみる。

ある瞬間の路線距離でみて両者の間が100mであったとすると、
Ａから見たＢの先頭、までの直線距離は・・・・100.124922m。※＝√（100^2+5^2)　
１秒後、AもBも進んでABの直線間隔は98.127468m。
差を取ると、その距離の変化、つまり相対速度は1.997454m/sと求まる。
つまり相対速度は2m/sよりも小さい

路線距離で両者の間が5mであったとすると、
Ａから見たＢの先頭、までの直線距離は・・・・5√2で7.071068m。
１秒後、AもBも進んでABの直線間隔は5.830952m。
従って、相対速度は1.240m/sで、やはり相対速度は2m/sよりも小さい。

直角三角形で、底辺一定で高さが等速度で縮むとすると、斜辺の長さの変化速度は、高さの変化速度未満になる、ということか？

では、そのまま進んでABが路線距離1mの距離にあるとき、AB間の距離は5.09902m。
１秒後にはAB間の距離はやはり5.09902m。
だから相対速度は0m/s
え？何で？　停まってないのに？

さあ、みんなも考えてみよう～(^^;オイオイ

お礼

回答してくださり感謝します。

・・・こういう事を言いたいのだろうか？
＞10m/sで進む列車Ａと、5m離れた隣の線路を反対方向に10m/sで進む列車Bで考えてみる。

＞ある瞬間の路線距離でみて両者の間が100mであったとすると、
＞Ａから見たＢの先頭、までの直線距離は・・・・100.124922m。※＝√（100^2+5^2)　

はい　そうですね。

＞ １秒後、AもBも進んでABの直線間隔は98.127468m。
＞ 差を取ると、その距離の変化、つまり相対速度は1.997454m/sと求まる。
＞つまり相対速度は2m/sよりも小さい

あっ！　そうですね。しかし、離れた隣の路線までの距離が５ｍとありましたが
正面衝突覚悟で、一本の路線上で電車を走らせた場合の相手の速度は２ｍ/ｓではありませんか？。

＞路線距離で両者の間が5mであったとすると、
＞ Ａから見たＢの先頭、までの直線距離は・・・・5√2で7.071068m。
＞ １秒後、AもBも進んでABの直線間隔は5.830952m。
＞ 従って、相対速度は1.240m/sで、やはり相対速度は2m/sよりも小さい。

確かにそうなりますが、私が忘れた計算方法で求められた答えは変化しないのです。
お互いの距離が１００ｍでも５ｍでも相手の速度は一定に見えるはずなんですが・・・・

＞ 直角三角形で、底辺一定で高さが等速度で縮むとすると、斜辺の長さの変化速度は、高さの変化速度未満になる、ということか？

＞では、そのまま進んでABが路線距離1mの距離にあるとき、AB間の距離は5.09902m。
＞ １秒後にはAB間の距離はやはり5.09902m。
＞だから相対速度は0m/s
＞え？何で？　停まってないのに？

＞さあ、みんなも考えてみよう～(^^;オイオイ

すれ違う前と後の距離は５，０９９０２ｍで同じなのだから相対速度で表すと０ｍ/ｓになってしまうのではないでしょうか？。

電車のすれ違う速度を三角関数を使って、角速度みたいなものを求めていた結果このようになったのだと思います。
ってか、回答者様は最初からこうなることを知っていたんじゃありませんか？（笑）。

どうもありがとうございました。

補足

すみません。健忘症のため思考回路が止まっているようです。もう少し読み直させてください。

回答No.2

neKo_deux

相対性理論とか、ローレンツ変換とか考慮する話とか？

間違ってる可能性がかなり高い程度のうろ覚えで式書いてみると、
Ａ：自分の電車の速度
Ｂ：こちらへ向かう電車の速度
ｃ：光速
で、
合成された速度＝（Ａ＋Ｂ）／（1+ＡＢ/(ｃ^2)）

とか？
電卓やExcelなんか使っても、桁落ちして120km/hになっちゃうかも。

お礼

回答してくださり感謝します。

質問の仕方が悪かったようですね。申し訳ありません。

思い切ってもっと大きな速度で進む電車同士での場合での観測のされかたにした方が回答してくださる皆様に分かりやすかったと思われます。

この投稿の答えは、確かどんなに高速で電車同士が向かい合って進んでいても相手の電車の速度が高速の３０万Kmを超えて見えることはないということでした。

健忘症を患ってしまってからは、こんなことも思い出せないようになってしまい自分自身が情けなく思えて仕方がありません。

しかし、おかげさまで記憶が少し戻ってまいりました。

本当にありがとうございました。

回答No.1

noname#195146

>時速６０Km/Hでこちらに向かっている電車の速度は１２０Km/Hに見えるのですが、

　ニュートン力学では厳密にそうだとしています。速度は単純な足し算、引き算です。ガリレイ変換と呼ばれます。

>実は１２０Km/H未満が正解だったと思います。

　おそらく特殊相対論でしょう。光がどんな慣性系から見ても、同じ30万km/sであるため、ニュートン力学で使うガリレイ変換が成り立たず、補正を加えたローレンツ変換を用います。

　結果だけ示せば、二つの電車が速度vと速度Vで向かい合うように進んでいるなら、一方から他方を見た速度Wは、光速度をcとして、

　W＝(v+V)/{1+(vV/c^2)}

となります。1+(vV/c^2)＞1ですから、単純な足し算v+Vより小さくなります。

P.S.

　相対論的な速度の足し算の導出はちょっと長いので、ここには書きづらいです。以下などをご参考に。

http://space.geocities.jp/funasking/rel_add/index1.html

「速度の合成則 相対論」でネット検索すると、他にもいろいろありますが、おおむね同じやり方です。

お礼

回答してくださり感謝します。

リンクを貼ってくださり納得することができました。

光速は秒速３０万Kmですよね。
今回の質問では電車で時速６０Kmの場合の投稿をさせていただきましたが、もしも自分の乗っている電車が秒速２０万Kmで進んでいて、前方からも秒速２０万Kmでこちらに向かっている電車があるとき、前方から向かってくる電車の速度は普通に計算すると、
秒速２０万Km　＋　２０万Km　＝　４０万Kmになってしまうのですが、実際は光速を超える速度にはならないということを思い出すことができました。

実は私は昨年、健忘症を患って過去の多くの記憶を失ってしまいました。都合の悪いことを忘れるのは良いのですが、思い出したいことを自由に思い出せないことにものすごく不便を感じています。

しかし、おかげさまで少し記憶が蘇ってきたように思います。

どうもありがとうございました。