Indefinite integralの問題 2

質問

いつも大変お世話になっております。

現在Indefinite integralを勉強しているのですが、
添付の解答が合っているかどうかご確認をお願いできますでしょうか。
もし違っていたら解答方法もご教授頂けると助かります（命の恩人）。

お手数をおかけ致しますが、どうぞよろしくお願い致します。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

#1です。ご指摘の通り分母が抜けていました。正しくは

I=∫x^2(2x^3+3)^3dx

=∫y^3dy/6=y^4/24+c=(2x^3+3)^4/24+C

お礼

まとめてのお礼ですみません。
おかげさまで授業が全部終わり、
試験も95点、98点、98点といい点数が取れ、
無事Aを獲得することが出来ました。

中学時代、アチーブテストで数学を学年でビリから6番とか取った者の成績とはとても思えません（笑）。

これも皆さんの上手な教え方のおかげです。
本当にありがとうございました。

本来なら皆さんにポイントを差し上げたいのですが、
今回は任意で付けさせて頂きました。

重ね重ね、どうもありがとうございました。

回答No.3

info222_

(1)は括弧を展開して積分すればいいですが、
(2)～(4)は、置換積分もしくは合成関数の積分公式を使う問題です。

合成関数の積分公式
　F(x)=∫f(x)dxのとき
　∫g'(x)f(g(x))dx=F(g(x))+C

置換積分する方法は解答の途中計算が長くなりますが、合成関数の積分公式を使う方法は解答の途中計算が非常に少なくなります（スマートな解答になる）。

(1)は正解。

(2)
I=∫4x/(2x^2-5)^3 dx
合成関数の積分公式を適用して
=∫(2x^2-5)' *1/(2x^2-5)^3 dx
=-1/(2(2x^2-5)^2) +C

(2)は正解。

(3)
I=∫x^2*(2x^3+3)^3 dx
合成関数の積分公式を適用して
=(1/6)∫(2x^3+3)' *(2x^3+3)^3 dx
=(1/6)(2x^3+3)^4/4 +C
=(2x^3+3)^4/24 +C

(3)は不正解。

(4)
I=∫e^(2x)*(e^(2x)+1)^2 dx
合成関数の積分公式を適用して
=(1/2)∫(e^(2x)+1)' *(e^(2x)+1)^2 dx
=(1/2)(e^(2x)+1)^3/3 +C
=(e^(2x)+1)^3/6 +C

(4)は不正解。

(2)は正解。

回答No.1

spring135

(1)OK
(2)OK
(3)NO

正解は

I=∫x^2(2x^3+3)^3dx

2x^3+3=yとおく

両辺微分して

6x^2dx=dy

x^2dx=dy/6

I=∫x^2(2x^3+3)^3dx

=∫y^3dy/6=y^4/24+c=(2x^3+3)^4+C

(4)NO

正解は

I=∫e^(2x)[e^(2x)+1]^2dx

e^(2x)+1=yとおく

両辺微分して

2e^(2x)dx=dy

e^(2x)dx=dy/2

I=∫e^(2x)[e^(2x)+1]^2dx=∫y^2dy/2=y^3/6+C=[e^(2x)+1]^3/6+C

補足

早速のご解答ありがとうございます。

大変申し訳ございません、まだちょっと不明な点があるので教えてください。

＞=∫y^3dy/6=y^4/24+c=(2x^3+3)^4+C

で、ここの部分（↓）

=y^4/24+c

には分母が存在するのに、

なぜ次の式（↓）

=(2x^3+3)^4+C

でいきなり分母がなくなってしまったのでしょう。

どうぞよろしくお願い致します。