>今回かなり苦戦しているので、出来れば詳しく教えて頂けると助かります。
3問とも、置換積分でもできますが、合成関数の積分公式を使えば一発でできます。
合成関数の積分公式
F(x)=∫f(x)dxとおくと
∫[a,b] g'(x)f(g(x)dx=F(b)-F(a)
(1)
I=∫[0,1]20x(2x^2+1)^4 dx
合成関数の積分公式を適用
g(x)=2x^2+1, g'(x)=4x, f(x)=x^4, F(x)=(1/5)x^5
より
I=5∫[0,1] 4x(2x^2+1)^4 dx=5∫[0,1] g'(x) f(g(x))^4 dx
=5[(1/5)*(2*1^2+1)^5-(1/5)*(2*0^2+1)^5]
=3^5-1^5=242 …(答)
答は合っています。
(2)
I=∫[0,2] x/(x^2+1) dx
合成関数の積分公式を適用
g(x)=x^2+1, g'(x)=2x, f(x)=1/x, F(x)=ln(x)=log[e](x)
より
I=(1/2)∫[0,2] 2x/(x^2+1) dx=(1/2)∫[0,2] g'(x) f(g(x)) dx
=(1/2)[ln(2^2+1)-ln(0^2+1)]
=ln(5)/2 …(答)
(≒0.804718956217…)
答は間違ってます。
(3)
I=∫[0,2] xe^(2x^2) dx
合成関数の積分公式を適用
g(x)=2x^2, g'(x)=4x, f(x)=e^x, F(x)=e^x
より
I=(1/4)∫[0,2] 4xe^(2x^2) dx=(1/4)∫[0,2] g'(x) f(g(x)) dx
=(1/4)[e^(2*2^2)-e^(2*0^2)]
=(e^8-1)/4 …(答)
(≒744.989496760432…)
答は間違ってます。
合成関数の積分公式を使えるようにしっかり覚えておきましょう。
上記回答では、置き換えの途中過程を詳しく書きましたが、「合成関数の積分公式を適用して」と書くだけで、いきなり
「=[F(x)][a,b]=F(b)-F(a)」のところから解答を書けば良いでしょう。
そうすれば、スマートな解答になります。
お礼
まとめてのお礼ですみません。 おかげさまで授業が全部終わり、 試験も95点、98点、98点といい点数が取れ、 無事Aを獲得することが出来ました。 中学時代、アチーブテストで数学を学年でビリから6番とか取った者の成績とはとても思えません（笑）。 これも皆さんの上手な教え方のおかげです。 本当にありがとうございました。 本来なら皆さんにポイントを差し上げたいのですが、 今回は任意で付けさせて頂きました。 重ね重ね、どうもありがとうございました。