公務員試験 数列の問題です

質問

1～400までの整理番号を持った人がA～Eに振り分けられた。
この時、350番の整理番号を持った人はどのグループに属するか。

A 1～2/21～27/66～77
B 3～5/29～35/78～90
C 6～9/36～44/91～104
D 10～14/45～54/105～119
E 15～20/55～65/120～135

解説だと
1.2→1群
3.4.5→2群
6.7.8.9→3群
.......[(n＋1)個]→n群

そこから値が (n＋1)(n＋2)/2 -1

350がn群に入ってるとし、
350≦(n＋1)(n＋2)/2 -1 になるそうです。

ちなみに正解はEに属してるそうです。

数列を求める公式がn(n＋1)/2 というのは調べて理解したのですが、
この問題に関してはさっぱりわかりません。

誰かわかりやすく教えていただけませんか？

回答No.2

englishquestion

1.2→1群
3.4.5→2群
6.7.8.9→3群
.......[(n＋1)個]→n群

n群までの和は、
2 + 3 + 4 + ... + n+1
です。

これを、
1 + 2 + 3 + 4 + ... + n+1
と比べると、最初の 1 だけ少ないことがわかります。

なので、1からn+1までの和から1を引けば、
n群までの和が求まります。

1からnまでの和が、n(n＋1)/2　なので、
この式のnの代わりにn+1を入れると、
1からn+1までの和　が求まります。
つまり、(n＋1)(n＋2)/2　が1からn+1までの和です。
これから1を引いたものが、
(n＋1)(n＋2)/2 - 1 という書かれているn群までの和の式になります。

「350がn群に入ってるとし、
350≦(n＋1)(n＋2)/2 -1 になるそうです。」
やりたいのは、求めた式で、350以上になる最小のnを求めるということです。
これにより、350が何群に入るのかが分かります。

350≦(n＋1)(n＋2)/2 -1
351≦(n＋1)(n＋2)/2
351x2≦(n＋1)(n＋2)
702≦(n＋1)(n＋2)
あとは、nに適当に数を入れてみて、最小のnを求めます。
n=24 だと、右辺=25x26=650 なのでこの不等式を満たしません。
n=25 だと、右辺=26x27=702 なのでこの不等式を満たします。

よって、n=25となります。
つまり、25群に350は入るということです。
25群は5で割り切れるので、この群が入るのは、Eです。

よって、答えはEになります。

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n群までの和、
2 + 3 + 4 + ... + n+1
を求める方法はいろいろあります。

第k項が、k+1 になっている数列なので、
∑(k=1...n)(k+1)
= ∑(k=1...n)k+∑(k=1...n)1
= n(n+1)/2 + n
とも計算できます。

また、
1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = n(n+1)/2
というご存知の公式を導いたときと
同じ考えでも当然求まります。

S= 2 + 3 + 4 + ... + n+1
とおいて、
S= n+1 + ... + 4 + 3 + 2
と逆から並べて2つの式を足しますと、
2S = n+3 + n+3 + n+3 + ... + n+3
となり、右辺は n+3 が n回足されているので、
2S = (n+3) x n
よって、
S = n(n+3)/2 となります。

(n＋1)(n＋2)/2 -1
も
n(n+1)/2 + n
も
n(n+3)/2
も
全部同じ式です。
確かめてください。

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ところで、最初にこの問題を見た時には
私は、このように解きませんでした。
答えだけ求めればいいのですから。

A 1～2/21～27/66～77
B 3～5/29～35/78～90
C 6～9/36～44/91～104
D 10～14/45～54/105～119
E 15～20/55～65/120～135
と振り分けていくわけですが、
説明の便宜上、1～20までを振り分けるのを一周目の振り分、
21～65までを振り分けるのを二周目の振り分け、
・・・、と呼ぶことにします。

Aは一周目の振り分けで2個、次の二周目では7個、三周目では、12個と
振り分けられる個数が、5ずつ増えていきます。
これは、他のB～Eでも同じです。
従って、A～E全体の合計では、25個ずつ周回毎に振り分けられる個数が増えていきます。

１周目　20個
２周目　20+25=45個
３周目　45+25=70個
４周目　70+25=95個
５周目　95+25=120個

たしかに、
２周目まで合計で、20+45=65 となり、
65が２周目のEの最後の数になっています。
また、
３周目まで合計で、20+45+70=135　となり、
135が３周目のEの最後の数になっています。　

350が、どの周回で振り分けられるのかを考えます。
すると、
以下
４周目　135+95=230　まで振り分けられている。
５周目　230+120=350 まで振り分けられている。
とわかるので、
350は５周目の最後に振り分けられたことが分かります。
従って、Eに振り分けられたことが分かります。

何周目で振り分けられるのかが分かった後に、
どのグループに振り分けられたかを考えようとしたのですが、
これを考える必要がラッキーなことにありませんでした。

説明すると長く感じるかもしれませんが、
私のメモだと、
20 45 70 95 120
20 65 130 230 350
とこれだけです。

これは、350という数が小さい数であり、
ほんの数周目で振り分けられるのが明らかだから取った方針です。

お礼

わかりやすい解説と、公式に当てはめなくても解けることを教えていただいてありがとうございました(^-^)

回答No.1

gohtraw

１～２とか、３～５とかに分けられているのを「組」と呼びます。
例えば整理番号１番と２番は１番目の組に属することになります。

このとき、組に含まれる人数をｎ＋１とすると、その組はｎ番目の
群に割り振られるというのが、

＞解説だと
＞1.2→1群
＞3.4.5→2群
＞6.7.8.9→3群
＞.......[(n＋1)個]→n群

という部分の意味です。１群からｎ群までの人数の総和は、整理番号
１からｎ＋１までの総和に等しいので、
（ｎ＋１）（ｎ＋２）／２

一方、１群からｎ－１群までの人数の総和は上記と同様に
ｎ（ｎ＋１）／２

と表されます。
もし、
ｎ（ｎ＋１）／２＜３５０＜＝（ｎ＋１）（ｎ＋２）／２
であれば、整理番号３５０はｎ群に入ります。

ｎ（ｎ＋１）／２＜３５０　より
ｎ（ｎ＋１）＜７００
ｎ＾２＋ｎ－７００＜０
（－１－√２８０１）／２＜ｎ＜（－１＋√２８０１）／２
－２６．９６＜ｎ＜２５．９６　・・・（１）

３５０＜＝（ｎ＋１）（ｎ＋２）／２より
７００＜＝ｎ＾２＋３ｎ＋２
ｎ＾２＋３ｎ－６９８＞＝０
ｎ＜＝（－３－√２８０１）／２、（－３＋√２８０１）／２＜＝ｎ
ｎ＜＝－２７．９６、２４．９６＜＝ｎ　・・・（２）
（１）と（２）より
ｎ＝２５　であり、整理番号３５０は２５番目の組に入ります。
２５は５の倍数なので、２５番目の7組はＥ群に入ります。

お礼

丁寧に教えていただいてありがとうございました(^-^)