かけ算 なぜひっくり返しても同じ

質問

掛け算の質問です。ただし、順序の正しさでは有りません。（一皿にリンゴが3個。5皿で何個に対して、　3ｘ5　が○で5ｘ3は×に対する、議論ではない）

かけ算ですが、なぜ、ひっくり返しても同じとなるのでしょうか。
（　4ｘ3 と　3ｘ4が同じ。）

回答No.7

funoe

No6の回答はひどい。ゴールでもとに戻っては何も示せていない。

以下の通り訂正
2*(m+1)
=2m+2　　　・・・乗法の定義
=m*2+2　　・・・帰納法の仮定
=m*(1+1)+2　　・・・加法の定義
=m*1+m+2　　・・・乗法の定義
=m+m+2　　　・・・乗法の定義
=m+m+1+1　　・・・加法の定義
=m+1+m+1　　　・・・加法の交換法則
=(m+1)*1+(m+1)　・・・乗法の定義
=(m+1)*(1+1)　　・・・乗法の定義
=(m+1)*2　　　・・・加法の定義

回答No.6

funoe

ちょっと不十分で、m=2のときの証明（m*2=2*m)が必要な気がしてきました。

m=1のとき
1*2=1*(1+1)=1*1+1=1+1=2
2*1=2 となり、1*2=2*1

2*m=m*2 と仮定
2*(m+1)
=2m+2　　　・・・乗法の定義
=m*2+2　　　・・・帰納法の仮定
=m(1+1)+2　　・・・加法の定義から（s(1)=1+1=2）
=m*1+m+2　　・・・乗法の定義
=m+m+2　　　・・・乗法の定義
=m+m+1+1 ・・・加法の定義
=m+1+m+1　　・・・加法の交換法則
=(m+1)*1+(m+1)　・・・乗法の定義
=(1+1)*(m+1)　　・・・乗法の定義
=2*(m+1)　　・・・加法の定義

回答No.5

funoe

自然数の乗法は次のように帰納的に定義されている。
ｍ＊１＝ｍ
ｍ＊（ｎ＋１）＝ｍｎ＋ｍ

ｍ＊ｎ＝ｎ＊ｍの証明方針は次のとおり。
・加法の交換法則（ｍ＋ｎ＝ｎ＋ｍ）はあらかじめ数学的帰納法で証明しておく。（何回か繰り返し面倒だが容易）
・任意のｍについて、ｍ＊１＝１＊ｍは数学的帰納法であらかじめ証明しておく（容易）
キモの部分は、
・いま、（ｍ＋１）＊ｎ＝ｎ＊（ｍ＋１）と仮定すると、
（ｍ＋１）＊（ｎ＋１）
＝（ｍ＋１）＊ｎ＋（ｍ＋１）　　　・・・乗法の定義
＝ｎ＊（ｍ＋１）＋（ｍ＋１）　　　・・・帰納法の仮定
＝ｎｍ＋ｎ＋（ｍ＋１）　　　・・・乗法の定義
＝ｎｍ＋ｍ＋（ｎ＋１）　　　・・・加法の交換法則
＝（ｎ＋１）＊ｍ＋（ｎ＋１）　　・・・・乗法の定義
＝（ｎ＋１）＊（ｍ＋１）

というわけで、自然数の乗法の可換性は数学的帰納法で証明できる。
整数・有理数・実数・複素数の乗法の可換性は、この自然数の乗法の可換性を用いればいずれも容易。

質問への回答は、こういうことでいいのかしら？

回答No.4

ORUKA1951

小学校で、掛け算とは 「同じ数を何回加え続けるか」をあらわすものとして、掛け算の順番を厳しく指導されましたね。
　中学校で、数の拡張--負数(加えるとゼロになる数)や逆数（掛け合わせると１になる数）を学んだ後に、交換則として学びます。
　A・B = B・A　・は演算子-- ×と＋です。
　 2 × 3 = 3 × 2
　　 2 ÷ 3 ≠ 3÷2 ⇒ 2 ×(1/3) = (1/3)×2
　 2 ＋ 3 = 3 ＋ 2
　　 2 － 3 ≠　3 － 2　　⇒ 2 ＋(-3) ＝ (-3)＋ 2

　交換則が成り立つ意味は、升目を考えると体感的には説明できますね。
　　４
┌┬┬┬┐
├┼┼┼┤３
├┼┼┼┤
└┴┴┴┘
　　３
┌┬┬┐
├┼┼┤
├┼┼┤４
├┼┼┤
└┴┴┘
※かけ算ですが、なぜ、ひっくり返しても同じとなるのでしょうか
　ではありません。掛け算はその定義から、同じになるのです。上の図のコマを縦に数えるか、横に数えるかの違いでしかないですから・・。
　同様に、「有理数、実数、複素数の加算や乗算」「行列、数ベクトルの加算(乗算には成り立たない)」「集合の積集合や和集合」についても交換則は成り立ちます。

※除算・減算には交換則が成り立ちませんが、負数/逆数を導入することで成り立つように変わる・・これは、実際に何かわからない未知数についても、有理数、実数、複素数なら成り立つように拡張されます。

回答No.3

kamobedanjoh

掛け算九九で経験済み。
１＊９　インクガク
９＊１　クイチガク
１の段から９の段まで、唱えてみれば歴然。
それでも納得できなければ、一万例ぐらい試している内に納得するでしょう。

回答No.2

bin-chan

例示の「リンゴ3個／皿が5皿、15個」を並べてみる。
縦3個横５個も、縦５個横３個も、どちらも15個。

回答No.1

yyssaa

（　4ｘ3 と　3ｘ4が同じ。）
＞4*3=(3+1)*3=3*3+1*3=3*(3+1)=3*4