結局掛け算というのはどういうものなのでしょうか

質問

足し算というのは何となくわかったつもりになれますし、あまりその後新たな疑問もわかないのですが、掛け算の方は年々どういうものかがわからなくなってきました。特に算数の時には絶対省略できないＸという記号が代数を習うと省略するのが普通ということでますます掛け算というものがわからなくなりました。数学がわからない原因の一つなのではないかと想像しているのですが、ご教示頂ければ幸いです。

回答No.5

cyototu · ベストアンサー

＞＋や－はlogやsinのような記号とも考えられるのでしょうか。

はい、そう考えても良いです。数学には演算子という概念があります。数なり関数にある操作を施して、別な数なり関数を作り出す規則のことです。（厳密には、ある数に他の数を対応させるのか、ある関数に数を対応させるのか、あるいは、ある関数に関数を対応させるのかで、数学ではそれぞれ、関数、汎関数、演算子と区別しているのですが、ここではそれを一緒くたに演算子と呼ぶことにします。）そのように考えれば、ある数xに対してlogという演算を施すと、log(x)という数が得られるということができます。したがって、logという記号は一つの演算子と考えることができます。同じようにある数xに対して-という演算子を施すと-xが得られると考えても良い。また、ある数xに＋という演算子を施すと同じxになる、すなわち、+(x)＝+x=xとなると考えても良いのです。

もっと複雑な演算子としては、ある関数F(x)をxで微分するという代わりに、 F(x)に微分演算子d/dxと言う演算子を施して、新しい関数d/dx[F(x)]=dF(x)/dxを作ると言う表現をよく使います。

お礼

大変御懇切なご説明をいただき誠にありがとうございました。おかげさまで気を取り直して勉強を続けられます。ゆくゆくは演算子までたどりつければと思っております。

回答No.7

tohoho2

何というか、数学が足し算だけでできていたら、世の中簡単なのになとは、私も思います。まあ、逆に言えば、掛け算があるから、数学の多様性が生じているとも言えませんか。ちょっと違うかな。物事が線形性（簡単に言えば、比例関係、Y=aX）だけで成り立っていたら、世の中が簡単になるということかな。非線形性（非線形な関係の一番簡単なものは、Y=X×X）があるからこそ、世の中の多様性が生まれるということかな。直接の回答ではないですが、何かの示唆になれば幸いです。

お礼

掛け算には足し算にはないはたらきがあるということでしょうか。ご教示ありがとうございました。

回答No.6

Ishiwara

logやsinは、明らかに「演算子」ですが「＋」「－」は、「正負記号（符号）」の場合と「演算子」の場合があり、しかもその境界線がやや不鮮明です。

「－５＋３」を「－５と＋３の間に何の記号も入れずにマイナスの数字とプラスの数字をただ羅列しているだけ」（＃５さん）と考えるのは「＋」を正負記号と見て「演算子が省略された」という見方ですが、ここは、「＋」が演算子で「３の正負記号」が省略された、という見方も成立します。特に低学年では、そのように教えます。

しかし、高学年では前者の見方もできる必要があります。例えば、一般式ｘ＋ｙ＋ｚの具体例として「５－３＋１」と表記するのであれば、この「－」は「項」の正負記号であり加算の演算子「＋」が省略されている、と考えるほうが合理的です。

なぜならば、ｘ＋ｙ＋ｚを具体化すれば、（５）＋（－３）＋（１）となるのであって、５－３＋１は「計算方法」にすぎないからです。

お礼

足し算はあまり不思議に思わなかったのですが、掛け算がわからない原因がご教示のことと関係しているのかと思い、自分でも勉強してみたいと思いました。

補足

掛け算でaxbをabと表記するのは、ｘという演算子を省略しただけで＋－のようなあいまいさがないわけですね。

回答No.4

cyototu

先ず足し算と引き算の記号が省略できない理由から。
それは、正の数か負の数かが判らなくなってしまうからです。

かけ算が省略できる理由。
貴方は何の疑問もなく例えば－５と書くと思いますが、よく考えてみればこれは、（-1）x5とも考えられますね。同じように+3は（+1）x3でもあります。数学や物理の専門家ではもっと極端にマイナス記号と５の積（ー）x５とか、プラス符号と３の積（＋）x３なんて書くことだってあります。と言うことは、－５と書くことで暗にxの記号が省略されていると考えることも可能です。この習慣を記号文字まで拡張して使っているのです。そう言う意味では、代数による記号の演算を教わる前から、貴方はかけ算の省略形を教わっていたとも考えられます。

そう考えると
－５＋３だって、－５と＋３の間に何の記号も入れずにマイナスの数字とプラスの数字をただ羅列しているだけですね。

補足

＋や－はlogやsinのような記号とも考えられるのでしょうか。

回答No.3

garcon2000

掛け算というのは、所詮足し算の省略形に過ぎません。なので記号も省略する！？という落ちがあるのかもしれません。

お分かりですよね。２×３は２＋２＋２です。
代数で省略するのはａｂを足し算にすると、引き算の表記ができないから（できますか？）

お礼

興味深いご教示をありがとうございます。勉強いたします。

回答No.2

Ishiwara

●掛け算が必要になった理由
掛け算がなくても人間は生きて行けます。しかし、同じ足し算を繰り返し行う操作を簡単にするために、掛け算というものが考案されました。

●代数で掛け算記号を省略する理由
省略して支障がないものを省略するのは、当然の進化ですよね。それでは、なぜ足し算のほうを省略しなかったのか。それは「足してから掛ける」よりも「掛けてから足す」ほうが応用範囲が広いからです。前者は「りんご」ばかり繰り返して買うときに使えますが、後者は「りんご」と「なし」を混ぜて買うときに使えます。

お礼

足し算が進化したものとして掛け算を考えるということですね。記号の省略についても勉強になりました。ご教示ありがとうございました。

回答No.1

787B-GT4

「６×３」は６が３個あるということですよね。
例えば、卵６個入りのパックが３個あるという感じですよね。

で、「６χ」は６がχ個あるということですよね。
例えば、卵６個入りのパックがχ個あるという感じですよね。

・・・って、自分でも説明になってるのかなってないのか、わからなくなってきました。

あと、算数で×が省略できないのは、省略したくても省略できないからじゃないですか？
「３×χ」を「３χ」と書いても大丈夫ですが、
「３×６」を「３６」と書いたら、別の数字ですよね。

お礼

面積の掛け算でもわかったようなわからないような感じになってしまうのです。ご教示を感謝いたします。