力学初心者の質問

質問

高校物理の問題集で、斜面に置いた物体にはたらく抗力は当然のごとく「垂直抗力」となっていますが、なぜ抗力の向きが垂直と言っていいのでしょうか。

回答No.9

watecolor1969

水平方向(x成分)と鉛直方向(y成分)に座標軸をとると
貴方のおっしゃる通り運動方程式が成り立ち、

x成分：ma_x=N・sinθ　　…(1)
y成分：ma_y=mg-N・cosθ …(2)

となります。

ここで、方程式2個に対して未知数a_x,a_y,Nの3個になることから、
束縛条件の明記が必要となります。

mがつねに斜面上にあるということから
y=x・tanθ

∴　d^2y/dt^2=(d^2x/dt^2)tanθ

つまり

束縛条件：a_y=a_x・tanθ

が得られ、これを運動方程式(1)、(2)と連立させてはじめて

a_x=g・sinθcosθ…(3)
a_y=g(sinθ)^2　…(4)

が求まるということになります。

(3)(4)より、a=√(a_x^2+a_y^2)=g・sinθ

および、　N=mg・cosθ

が得られます。
これは斜面に平行方向・垂直方向の座標軸を用いて得られるものと一致します。　
これらの結果もθ=0のときももちろん成り立ちます。
よって、斜面に垂直に抗力が働きます。

ご参考になれば幸いです。

お礼

締め切り後であるにも関わらず，丁寧にありがとうございます。参考になりました。

回答No.8

watecolor1969

>鉛直：ma=mg-Ncosθ

　これではmg>Ncosθなので斜面にもぐっていってしまいますよね。
　mgとNcosθは同じ座標軸上にあるでしょうか？
　同じ座標軸に乗せないと加減できませんよね。

水平面と斜面がなす角をθとしたとき、
鉛直下向きに重力が働きます。

この重力を斜面に垂直な方向と斜面に水平な方向に分力で示すと
垂直方向：mg・cosθ
水平方向：mg・sinθ

となります。

ここで、mg・cosθを作用、垂直抗力Nを反作用とすると、これらは
これらは面に対して垂直で大きさが同じ、向きが反対な力どうしなので、
運動方程式は

斜面に垂直方向：mα=mg・cosθ-N
斜面に平行方向：mβ=mg・sinθ

となります。
θ=0(斜面ではなく水平面上)としても一般性は失われません。

抗力ありきではなく、物体に重力が働いているので抗力がある(発生する)
と考えてみてはいかがでしょうか。

うまく説明しきれていない不安を抱きつつ、本日この辺で失礼します。

お礼

ありがとうございます。

回答No.7

oignies

高校生とのき京都大学の入試問題が物理の試験ででて、得点率９５％でその設問に関しては学年トップで物理は５でしたが、考え方としては、まず、ひもなどでひっぱられていない場合物体に働く力は、重量と慣性力のみ。
あとは摩擦。

もとが静止している物の慣性力はゼロ。重量方向の力のみが働きます。さてこの重力ですが、斜面におかれた物体にあってもおなじ。なのに、斜面の物体が、ましたではなく、斜面に沿って動くのは、斜面にさえぎられているからです。斜面方向にうごくことから横向きの力がはたらいていると考えたくなるのはわかりますが、それは感覚的なおもいこみです。

と説明すればわかるかな。

からまれても、横方法の力が摩擦がない状態で働くとは答えてあげられません。それが、物理法則だから。あなたががんばっても、太陽が地球のまわりをまわらないように、でも、横方向にも移動しているから、とあなたががんばっても物体に働く力は重力で垂直方向です。

そして抗力のはたらきかたとして、力が働く方向と逆方法に働くという法則があります。なので、抗力は垂直方向でうわむき。

お礼

ありがとうございます。

回答No.6

noname#249717

「垂直」というからには何かしらの基準に対して垂直なので、その基準は何かということを以下に説明します。

物体にかかる力は重力mgです(m：質量、g：重力加速度)。
斜面に摩擦がないとすれば、物体は斜面に沿って運動を始めます。
その運動方程式はma＝mg・sinθ（a：物体の加速度、θ：斜面の角度）。
この運動の方向が基準になります。

高校物理では物体の運動方程式を基準に考えることがほとんどですので、その運動方向に対して「垂直」で斜面に対する抗力ということで「垂直抗力」と呼ぶのです。

お礼

ありがとうございます。

回答No.5

watecolor1969

ここで扱っている抗力とは
物体が面に対して垂直にはたらきかける力(作用)に対して、
面が垂直に物体を押し返す力（反作用）です。
これが垂直抗力です。

>なぜ抗力が斜めでないと言えるのでしょうか。

面に対して垂直な方向と平行な方向に直行座標をとって集約して考えるからです。

物体に働く力（一番簡単に重力だけとすると）を面と水平下向きの分力と、
面に垂直下向きな分力に分けて考えます。

このとき、摩擦が無視できるとすると、
物体が面にはたらきかける力の分力に対する反作用は
垂直成分だけになります。

お礼

ありがとうございます。

補足

たとえば、物体が水平な面の上にあるとき、物体は止まり続けるのは私としては認めることにします。ここで運動方程式を立てます。抗力が斜めにはたらくとして大きさをNとします。抗力が鉛直方向となす角をθとします。
鉛直：ma=mg-Ncosθ
水平：mb=Nsinθ
となります。私が上で言ったように、物体が止まり続ける、すなわち横滑りしないことを認める立場ならば、b=0となります。すなわち、θ=0°となります。よって、抗力が垂直とわかります。

こんな感じで斜面でも抗力が垂直にはたらくということが納得したいのです。

回答No.4

oignies

補足ありがとうございます。あなたの疑問はもっともです。摩擦があれば、水平方向の力もはたらきますが、高校物理では、ほとんどの場合、摩擦はないものとする、とどこかにかかれています。

摩擦は実際にはかかるので、少しすすんできたり、大学にはいってからならうと、摩擦アリとして計算させられることもあります。

摩擦までかんがえて、水平方向にも力が働くはずとかんがえたのは、ご立派。

ただし、まさつがないという仮定のもとでまだ、水平方向に力が働くはずとかんがえるのであれば、物理にむいていません。

お礼

ありがとうございます。

補足

あくまでも摩擦なしの議論でお願いします。斜面からの抗力が斜めでない、つまり、垂直抗力しかないのは、どう説明したらよいでしょうか。

回答No.3

watecolor1969

物体に働く重力の分力として、
斜面に水平な力と垂直な力に分けて考えるからです。
垂直抗力に静止摩擦係数μ_0を掛けたものが静止摩擦力になるので
その様に扱うと便利だということです。

お礼

ありがとうございます。

補足

抗力が垂直な成分しかないのは直感的には感じ取れるですが、例えば斜面からの抗力が斜めにはたらいていれば垂直でない成分もあるはずです。垂直な成分しかないとすると、抗力は斜めではなく、斜面垂直方向にはたらいていることになると思いますが、なぜ抗力が斜めでないと言えるのでしょうか。

回答No.2

watecolor1969

垂直抗力：物体が面を押しているとき、その力の面に垂直な成分に対し、
　　　　　作用・反作用の法則により、同じ大きさで反対向きの、面が物体にはたらきかける（押し返す）力のこと。

と定義されているからです。

参考：1．『物理事典』(旺文社)
　　　2. wiki『垂直抗力』
　　　　　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9E%82%E7%9B%B4%E6%8A%97%E5%8A%9B

お礼

ありがとうございます。

補足

垂直でない成分がないのはなぜでしょうか。

回答No.1

oignies

重力は地球の中心にしかはたらかないからです。

斜面だろうがどこだろうが、ひもでひっぱられていないかぎり、物体に働く力はつねに、垂直方向で下向き、つまり、地球の中心にむかってです。

お礼

ありがとうございます。

補足

私の質問は、「問題集の説明は当然のごとく抗力が斜面に対して垂直なのだが、なぜ斜面に対して垂直でない成分がないと言えるのか」です。