数学問題

質問

何方か解答の作成お願いしますm(__)m

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

F(x)=<x,Ax>

(a)F(x)=<x,Ax>は凸関数であるとする
Aは実対称行列だからAの転置をA^tとすると
A^t=A
だから
<y,Ax>=(y^t)Ax={<y,Ax>}^t={(y^t)Ax}^t=(x^t)(A^t)y=(x^t)Ay=<x,Ay>
だから
任意のx,y∈R^n
λ=1/2に対して
F(λx+(1-λ)y)
=<λx+(1-λ)y,A(λx+(1-λ)y)>
=<λx+(1-λ)y,λAx+(1-λ)Ay>
=λ^2<x,Ax>+2λ(1-λ)<x,Ay>+(1-λ)^2<y,Ay>
≦λF(x)+(1-λ)F(y)
=λ<x,Ax>+(1-λ)<y,Ay>
だから
λ(1-λ)<x,Ax>-2λ(1-λ)<x,Ay>+(1-λ)λ<y,Ay>≧0
両辺をλ(1-λ)=1/4で割ると
<x,Ax>-2<x,Ay>+<y,Ay>≧0
∴
<x,Ax>+<y,Ay>≧2<x,Ay>
∴
(a)→(b)が成り立つ

(b)任意のx,y∈R^nに対して<x,Ax>+<y,Ay>≧2<x,Ay>が成り立つとする
任意のx,y=0∈R^nに対して
A0=0,<0,A0>=<0,0>=0,<x,A0>=<x,0>=0だから
<x,Ax>+<0,A0>=<x,Ax>≧2<x,A0>=0だから
<x,Ax>≧0
∴
(b)→(c)が成り立つ

(c)任意のx∈R^nに対して,<x,Ax>≧0が成り立つとする
任意のx,y∈R^n
任意のλ(0<λ<1)
に対して
λ(1-λ)<x-y,A(x-y)>≧0
だから
λF(x)+(1-λ)F(y)-F(λx+(1-λ)y)
=λ<x,Ax>+(1-λ)<y,Ay>-<λx+(1-λ)y,A(λx+(1-λ)y)>
=λ<x,Ax>+(1-λ)<y,Ay>-λ^2<x,Ax>-λ(1-λ)<x,Ay>-λ(1-λ)<y,Ax>-(1-λ)^2<y,Ay>
=λ(1-λ)(<x,Ax>-<x,Ay>-<y,Ax>+<y,Ay>)
=λ(1-λ)(<x,A(x-y)>-<y,A(x-y)>)
=λ(1-λ)<x-y,A(x-y)>≧0
∴
λF(x)+(1-λ)F(y)≧F(λx+(1-λ)y)
∴F(x)は凸関数である
∴
(c)→(a)が成り立つ

(a)→(b)→(c)→(a)が成り立つから
(a),(b),(c)は同値である

(2)
Aが正定値だから
任意のx∈R^nに対して
<x,Ax>≧0が成り立つから
(1)(c)→(a)から
F(x)=<x,Ax>は凸関数である
k>0
D={x∈R^n|F(x)≦k}
x,y∈D
0<λ<1に対して
F(x)≦k
F(y)≦k
で
F(x)は凸関数だから
F(λx+(1-λ)y)≦λF(x)+(1-λ)F(y)≦λk+(1-λ)k=k
∴
F(λx+(1-λ)y)≦k
∴
λx+(1-λ)y∈Dが成り立つ

回答No.1

Tacosan

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