三次方程式の問題

質問

x^3+x^2+(a-4)x-a=0
この式は３つの異なる実数解を持つ。
この時のaの範囲は
a<-5、-5<a<4
である。

また2つの解が負の値をとるのはaが
0<a<4の時であり、
３つの解が等差数列を成すのは
a=3の時である。

という問題があるのですが、全くわかりません。
aがa<4となるのはわかるのですが、
その他がさっぱりです....

どなたか解説お願いいたします。

回答No.2

gohtraw · ベストアンサー

f(x)=x^3+3x^2+(a-4)x-a　とおきます。
ｆ（１）＝１＋３＋ａ－４－ａ＝０　なので、ｘ＝１はf(x)=0の一つの
解です。また、ｆ（ｘ）は
f(x)=（ｘ－１）（ｘ＾２＋４ｘ＋ａ）
となります。
x=1以外に二つの異なる実数解（１ではない）があればいいので、
x^2+4x+a=0　の判別式　16-4a＞０　より　ａ＜４　です。
また、x^2+4x+a=0の解が１ではないことから、ｘ＝１を
x^2+4x+aに代入したときにその値がゼロにならなければいいので、
1+4+a≠0　よりa≠-5
以上まとめるとａ＜４、a≠ー5　・・・（あ）

ひとつの解が１で正なので、残る二つの解（つまりx^2+4x+a=0の解）が
いずれも負であればいいことになります。この解をｐおよびｑとすると
ｘ＾２＋４ｘ＋ａ＝（ｘ－ｐ）（ｘ－ｑ）
よりa＝pqですからa>0となります。　・・・（い）
念のため、ｐ＜０、ｑ＜０であればー（ｐ＋ｑ）＝４に矛盾はありません。
よって（あ）と（い）より　0<a<4

x^2+4x+a=0の解は
-2±√(16-4a)/2　・・・（う）
なのでこの両者の差は√（16-4a)です。
（う）のうち大きい方と１の差は
１－（-2＋√(16-4a)/2）＝３－√（16-4a）/2
これが√（16-4a)に等しければ３つの解は等差数列になるので
√（16-4a)=３－√（16-4a）/2
３√（16-4a）/2＝３
√（16-4a）＝２
16-4a=4
a=3

お礼

ご丁寧にありがとうございます。
-5がどこから来たのか、なぜその範囲なのか
理解不能でしたがよくわかりました！
本当にありがとうございます！

回答No.3

spring135

x^3+3x^2+(a-4)x-a=0

因数分解すると

(x-1)(x^2+4x+a)=0

x=1

は実数解である。よって「３つの異なる実数解を持つ」ためには

x^2+4x+a＝0が実数解を持てばよい。その条件は判別式より

4-a>0

a<4

-5などという数字がどこから出てくるのか。問題を正確に記載すべきである。

補足

残念なことに、これが解答の全てなんですww
自分も-5がどこから来たのかわからず、質問させて頂きました

回答No.1

englishquestion

問題合ってます？

方程式の左辺を関数としてグラフを
ソフトに書かせてみたところ、
a=3のときは、x軸を1回しか横切りませんし
（3つの実数解を持ちません）、
a=-5のときは、ちゃんとx軸を3階横切ります
（3つの実数解を持ちます）。

補足

ご指摘ありがとうございます。
x^3+x^2+(a-4)x-a=0ではなく
x^3+3x^2+(a-4)x-a=0でした。
申し訳ないです…
これを踏まえて、ご教授願えますでしょうか？