logの複雑な微分について

質問

次の問題を考えてみました。解き方が合っているか御指南下さい。

関数Vが、
V= log [ {1/(1+δ)} aX] + δ log [ {(1+j)δ/(1+δ)} X ]
について、
(1) ∂V/∂a

(2) ∂V/∂{1/(1+j)}
(3) ∂V/∂X
を求めよ。ただし、(2)(3)ではa=1としてよい。

---私の考え---
(1)∂V/∂aについて
→aがあるのは右辺第1項のみなので、この部分だけ1/xの形にする。（右辺第2項にはaがないので無視する）
∴∂V/∂a=1/[{1/(1+δ)} aX]

(2)∂V/∂{1/(1+j)}について
→右辺には1/(1+j)がない。代わりに(1+j)はある。この(1+j)を[1/(1+j)]^(-1)と考えればOKか
∴∂V/∂{1/(1+j)}=以下の分数
分子:1
分母: [1/(1+δ)]×[1/(1+j)]^(-1) X

これを整理して、
∂V/∂{1/(1+j)}=(1+δ)δ / (1+j) X

(3)∂V/∂Xについて
→Xは右辺の第1項にも第2項にもある。
→どっちも1/xの形にして、それぞれ足す。
∴∂V/∂X= (1+δ)δ / (1+j)X

回答No.1

Knotopolog · ベストアンサー

質問者さんの計算は，(1)，(2)，(3)の全部が間違いです．

関数，
V＝ log [ {1/(1+δ)} aX] + δ log [ {(1+j)δ/(1+δ)} X ]
の偏微分は下記のようになります．
-----------------
(1) ∂V/∂a ＝ [ {1/(1+δ)} aX]'/[ {1/(1+δ)} aX] ＝
　　　　　　＝ [{1/(1+δ)}X]/[ {1/(1+δ)} aX] ＝
　　∂V/∂a ＝ 1/a

これは，V＝log{1/(1+δ)} ＋ log[a] ＋ log[X] と変形できることから明らか！
-----------------
(2) ∂V/∂{1/(1+j)}

{1/(1+j)}＝J とすると，∂V/∂{1/(1+j)}＝∂V/∂J となり，
(1+j)＝(1/J) なので，V は，

V＝log [ {1/(1+δ)} aX] + δ log [ {(1/J)δ/(1+δ)}X ]

となるので，
∂V/∂J ＝∂【δlog[{(1/J)δ/(1+δ)}X]】/∂J
と書けます．したがって，これを計算すると，

log[{(1/J)δ/(1+δ)}X]＝log(1/J) ＋ log[{δ/(1+δ)}X] ＝
　　　＝log(1)－log(J) ＋ log[{δ/(1+δ)}X]
　　　＝－log(J) ＋ log[{δ/(1+δ)}X]
なので，

∂V/∂J ＝－δ/J ＝－δ/{1/(1+j)}＝－δ(1+j)
∂V/∂{1/(1+j)} ＝－δ(1+j)

となります．
-----------------
(3) ∂V/∂X

V= log [ {1/(1+δ)} aX] + δ log [ {(1+j)δ/(1+δ)} X ]

上式は，
log [ {1/(1+δ)} aX] ＝log{1/(1+δ)} ＋ log[a] ＋ log[X]
δ log [ {(1+j)δ/(1+δ)} X ]＝δlog{(1+j)δ/(1+δ)} ＋ δlog[X]
なので，V は，

V= log{1/(1+δ)} ＋ log[a] ＋ log[X]
　＋ δlog{(1+j)δ/(1+δ)} ＋ δlog[X]
です．したがって，

∂V/∂X＝(1/X)＋(δ/X)＝(1＋δ)/X
∂V/∂X＝(1＋δ)/X

となります．
-----------------

お礼

素晴らしい解説ありがとうございます!

回答No.2

info22_

(1)
∂V/∂a
=∂[log({1/(1+δ)}aX)]/∂a
合成関数の積分公式を適用
=[1/({1/(1+δ)}aX)]∂{({1/(1+δ)}aX)}/∂a
=[1/({1/(1+δ)}aX)]{1/(1+δ)}X
=1/a

>(1)∂V/∂aについて
>→aがあるのは右辺第1項のみなので、この部分だけ1/xの形にする。（右辺第2項にはaがないので無視する）

この考えは合ってる。

>∴∂V/∂a=1/[{1/(1+δ)} aX]
間違い。
合成関数の積分公式を使わないとダメですね。
右辺に
∂[{1/(1+δ)} aX]/∂a=X/(1+δ)
を掛ける必要があります。

(2)
>∂V/∂{1/(1+j)}について

偏微分する変数は「{1/(1+j)}」ではダメです。１つの文字変数でないとダメです。

(3)
問題として「(2)(3)ではa=1としてよい。」というどっちつかずの書き方は不適当。
書くなら「(2)(3)ではa=1とする。」とすべき。
あえて、a=1とする必要性は無いように思えますが…。

>→Xは右辺の第1項にも第2項にもある。
>→どっちも1/xの形にして、それぞれ足す。
>∴∂V/∂X= (1+δ)δ / (1+j)X

合成関数の微分公式を適用しないとダメです。

∂V/∂X
=(1/[{1/(1+δ)}aX])∂[{1/(1+δ)}aX]/∂X
+(δ/[{(1+j)δ/(1+δ)}X])∂[{(1+j)δ/(1+δ)}X]/∂X
=(1/[{1/(1+δ)}aX]){a/(1+δ)}
+(δ/[{(1+j)δ/(1+δ)}X]){(1+j)δ/(1+δ)}
=(1/X)+(δ/X)
=(1+δ)/X

お礼

素晴らしい解説ありがとうございます!