同値とは？

質問

定積分I＝∫（０～1）ｘ／√（２ｘ＋１）ｄｘを求めよ。
√（２ｘ＋１）＝ｔとおくと、ｘ＝１／２（ｔ＾２－１）である（★）
よって、ｄｘ＝－ｄｔであり、I＝∫（１～√３）１／２（ｔ＾２－１）ｄｔとあるのですが、★部分で２乗していて、同値性が崩れているのに、十分性の確認をしないのはなぜでしょうか?

（ｃｆ）一般に、√ｘ＝a⇒、ｘ＝aですが、それを利用して、ｘを求めた場合、十分性の議論が必要です。
どのような時に十分性の議論が必要かわからなくなりました。教えてください。

回答No.3

noname#221368 · ベストアンサー

「√（２ｘ＋１）＝ｔとおく」とした時点で、

　　・x≧-1/2　かつ　t≧0

という暗黙の前提が生じます。暗黙なので、明記されない事はよくありますが、上記の範囲内で話を進める限り、必要十分は自明という訳です。

　　・-1/2≦0≦x≦1　で、0≦1≦t≦√３

なので、OK！という事です。

回答No.2

noname#199771

必要とか十分とか同値とかが何を言いたいのか
わかりませんが、

0≦ｘ≦1に対して
φ(ｘ)=√（２ｘ＋１）

によりφを定めるとφは区間[0,1]から区間[1,√3]
への全単射でφ'(x)≠0なのでφ(ｘ)=ｔによりｘからｔ
への変数変換ができます。

あなたの中で置換積分ができる条件の理解があや
ふやなのでは？

回答No.1

asuncion

a = b
ならば
a^2 = b^2
に決まっている、
そうことではないのでしょうか。

逆に、
a^2 = b^2
であるからといって
a = b
とは限らない、というのは
ご存じのとおりです。