この問題がわかりません。

質問

ウラン(238)(92)Uの原子核数の半分が鉛(205)(82)Pbにまで崩壊するのに要する時間(半減期)をTとする。経過時間t後の(238)(92)Uの原子核数Nuに対する(205)(82)Pbの原子核数Npbの比は、(Npb)/(Nu)=何か？

わかる方、お願い致しますm(__)m

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

ウラン２３８の原子数の変化率はウラン２３８の原子数に比例するという、
いわゆる一次反応です。ウラン２３８の原子数をｘ、比例定数をｋとおいて
式を立てると、
ｄｘ／ｄｔ＝ｋｘ
（１／ｘ）ｄｘ＝ｋ・ｄｔ
両辺を積分して
ｌｏｇｘ＝ｋｔ＋Ｃ　（ｌｏｇは自然対数、Ｃは積分定数）　・・・（１）
ここで時間ゼロのときの原子数をｘ０とすると
ｌｏｇｘ０＝Ｃ　・・・（あ）
となり、積分定数が判ります。つまり、
ｌｏｇｘ＝ｋｔ＋ｌｏｇｘ０
ということです。この式を変形して
ｌｏｇｘ－ｌｏｇｘ０＝ｋｔ
ｌｏｇ（ｘ／ｘ０）＝ｋｔ
半減期というのはｘ／ｘ０＝０．５ということなので、
ｌｏｇ０．５＝ｋＴ
よってｋ＝ｌｏｇ０．５／Ｔ　・・・（い）
したがって（１）に（あ）と（い）を代入して
ｌｏｇｘ＝ｔ・ｌｏｇ０．５／Ｔ＋ｌｏｇＸ０
ｌｏｇｘ０－ｌｏｇｘ＝－ｔ・ｌｏｇ０．５／Ｔ
ｌｏｇ（ｘ０／ｘ）＝－ｔ・ｌｏｇ０．５／Ｔ
ｘ０／ｘ＝ｅ＾（－ｔ・ｌｏｇ０．５／Ｔ）・・・（２）
となります。
時間ゼロにおいて全ての原子がウラン２３８だとし、その数がｘ０だと
し、時間ｔにおけるウラン２３８の原子数をｘとすると、そのとき
鉛の原子数はｘ０－ｘなので、求めるべき比は
（ｘ０－ｘ）／ｘ＝ｘ０／ｘ－１
です。これに（２）を代入すると
ｅ＾（－ｔ・ｌｏｇ０．５／Ｔ）－１
これが求めるべき比です。
ｅ＾（ｔ・ｌｏｇ２／Ｔ）－１
とする方がシンプルでいいかもしれませんが・・・

お礼

いつもご丁寧な解説ありがとうございますm(__)m とても分かりやすかったです。

回答No.3

ninoue

ウラン238(238U82)は自然崩壊を繰り返して、最終的には鉛206(206Pb82)に落ち着きます。
Wikipedia:ウラン系列
http://www.aomori-hb.jp/ahb3_5_1_05.html ウラン系列

ウラン238 から　トリウム234 への崩壊半減期が44.68億年と他の半減期よりも4桁以上大きいので、トリウム234に崩壊したら、直ちに鉛206に変わると考えてもウラン238と鉛206の比率の計算上は誤差は少ないようです。

半減期に関しては同じくWikipediaを参照下さい。
>N(t) = N0 exp(-λt)
>loge(2) ≒ 0.693 であることから半減期は崩壊定数から
>> T = t(1/2) ≒ 0.693/λ

自然崩壊時の残存原子の割合は　N=N0*exp(-0.693t/T)
となります。

これらから鉛206/ウラン238の比は　(N0-N)/N となるのではないでしょうか。
(なお t,T 等の単位は年、或は時間として単位を合わせて計算する必要があります)

お礼

詳しく解説していただきありがとうございましたm(__)m

回答No.2

okormazd

#1さんでいいのですが、表示の仕方がちょっと気になります。

(Npb)/(Nu)=exp(t/T・log2)-1=exp(0.693t/T)-1

で、どうでしょう。

お礼

ご回答いただきありがとうございましたm(__)m okormazdさんのも参考にさせていただきますm(__)m