確率の問題

質問

サイコロをn回転がして、１が出たら+1、２，３が出たら-1、４，５，６が出たら0、平面上を動くとする。n回後にｘの位置にいる確率を求めよ。

それぞれの目の確率、1/6、1/3、1/2を利用して組み合わせを行うのかな？というところまでわかったのですが、そこから行き詰まっています。お願いします。

回答No.8

ask-it-aurora · ベストアンサー

最初にできた解法を書きます．

まずp(k; n)で「サイコロをk回転がした後にxにいる確率」とおきます．問題設定をすなおに数式で表せば漸化式
p(k + 1; x) = {p(k; x - 1) + 3p(k; x) + 2p(k; x + 1)}/6 （k ≧ 0）
を得ます．ここでサイコロをk回転がした後の確率分布をまとめて扱うために次で定義される母関数gを定めます．
g(k; t) = Σp(k; x)t^x
(t^xはtのx乗を表し，和はxが整数全体を動く形式和です．)
漸化式を利用するために予備計算をしておきます．
g(k; t) t = Σp(k; x - 1)t^x
g(k; t)/t = Σp(k; x + 1)t^x
よって漸化式を使って恒等式
6t g(k + 1; t) = (t + 1)(t + 2) g(k; t)
を得ます．初期条件(問題文では明示されていませんが，最初はx = 0に確率1でいると仮定します)はg(0; t) = 1と表せるので，f(t) = (t + 1)(t + 2)/(6t)とおけば，帰納的に
g(n; t) = f^n(t)
と表せます．二項係数をC(n, k)などと表すことにします．二項定理から
f^n(t) = ΣΣC(n, r) C(n, s) 2^(n - s) t^(r + s)/(6t)^n
= ΣΣ{C(n, r) C(n, s) / (2^s 3^n)} t^(r + s - n)
となります(ここで和はもちろん0 ≦ r, s ≦ n についてとる)．よってg(n; t)とf^n(t)の係数を比較して求める結果を得ます：
p(n; x) = ΣΣ C(n, r) C(n, s) / (2^s 3^n)．
(和はr + s = n + xを満たす整数0 ≦ r, s ≦ nについてとる．)

確認のためn = 1で実際に計算してみると
p(1; -1) = C(1, 0) C(1, 0) / (2^0 3^1) = 1/3,
p(1, 0) = {C(1, 0) C(1, 1) / (2^0 3^1)} + {C(1, 1) C(1, 0) / (2^1 3^1)} = 1/2,
p(1; 1) = C(1, 1) C(1, 1) / (2^1 3^1) = 1/6
と期待通りになります．

お礼

ありがとうございます。
BAにさせていただきます。

回答No.7

shuu_01

補足ありがとうございます

大学の定期試験の過去問だったのですね
僕の数学の実力では解くの難しいです

＞　実際は確率p,q,r(p+q+r=1)で示された粒子移動の問題です。

粒子の移動ということは、平面というより３次元の空間でないのですか？
今回のサイコロだと平面というより、線上を移動するのかと思ってました
線上ならまだしも、平面、空間だと位置 x にいる確率を出すの難しいと思います

そんな難しい問題、解けるのすごいです
先輩とかに聞いては如何でしょう？
答え、わかったら教えてください

回答No.6

shuu_01

場合分けとかしてるとドツボにはまりそうです
スッキリした解き方あるのでしょうか？
問題集、参考書、入試、それとも学校の宿題ですか？

補足

大学の定期試験の過去問です。実際は確率p,q,r(p+q+r=1)で示された粒子移動の問題です。
まったく同じ問題が出るわけではありませんが、気になってしまうので質問させていただきました。

回答No.5

shuu_01

具体的な数字だと考えやすいけど、n と x だったら面倒臭いです

n が奇数なのか偶数なのか、位置 x にいるには、何通りの何勝何敗何引き分けがあるのか、一般的な解を求めるの難しい

回答No.4

asuncion

-1にいるのは、0勝1敗2分け
も抜けていました。

回答No.3

asuncion

抜けていました。

回答No.2

shuu_01

＞　+1にいるのは、2勝1敗0分け

+1にいるのは、2勝1敗0分け、1勝0敗2分けもあるよ

回答No.1

asuncion

まず、約分せずに考える方がいいと思います。

+1を勝ち
-1を負け
0を引き分け
として、3～4回ほど具体的に
サイコロを振ってみてはどうでしょうか。

+3にいるのは、3勝0敗0分け
+2にいるのは、2勝0敗1分け
+1にいるのは、2勝1敗0分け
0にいるのは、1勝1敗1分け、0勝0敗3分け
-1にいるのは、1勝2敗0分け
-2にいるのは、0勝2敗1分け
-3にいるのは、0勝3敗0分け

このように、具体例を求めてみると、
一般化できるかもしれません。