積分の問題です。

質問

半径ｒの球の形をしたスイカがあります。
このスイカに底面の半径がd（＜ｒ）である円柱の棒を真上から垂直に刺します（スイカを突き抜けるまで）。
このときスイカに空いた穴の容積を求めよ。
ただし円柱の高さは2r（スイカの直径）よりも大きいものとします。

この問題がわかりません。わかる方いたら解き方まで教えていただけると助かります。

回答No.5

shuu_01

No.4 さんと僕と結果違う（汗）

自分の回答、あまり自信ないけど、

r = d の時、切り取った体積は球の体積になるんじゃない？

まぁ、ｄ ＜ ｒ だから　ｒ ＝　ｄ　にはならないんだけど（笑）

回答No.4

yyssaa

＞もしどうしても積分で計算したいなら、こういう方法も。
スイカの中心から高さzの位置でスイカを水平に切ったときの断面の面積
π(r^2-z^2-d^2)を0≦z≦√(r^2-d^2)の範囲で積分した結果を
2倍すればスイカの残った部分の体積が得られる。すなわち、
2∫[z=0→√(r^2-d^2)]π(r^2-z^2-d^2)dz
=2π(r^2-d^2)∫[z=0→√(r^2-d^2)]dz-2π∫[z=0→√(r^2-d^2)]z^2dz
=2π(r^2-d^2)√(r^2-d^2)-2π(r^2-d^2)√(r^2-d^2)/3
=(4/3)π(r^2-d^2)√(r^2-d^2)・・・・・(1)
又、スイカの上下の切り取られた部分の体積は、π(r^2-z^2)を
√(r^2-d^2)≦z≦rの範囲で積分した結果を2倍すれば得られる。
すなわち、2∫[z=√(r^2-d^2)→r]π(r^2-z^2)dz
=2πr^2∫[z=√(r^2-d^2)→r]dz-2π∫[z=√(r^2-d^2)→r]z^2dz
=2πr^2{r-√(r^2-d^2)}-(2/3)π{r^3-(r^2-d^2)√(r^2-d^2)}
=2πr^3-2πr^2√(r^2-d^2)-(2/3)πr^3+(2/3)π(r^2-d^2)√(r^2-d^2)}
=(4/3)πr^3-(4/3)πr^2√(r^2-d^2)-(2/3)πd^2√(r^2-d^2)・・・・・(2)
(1)と(2)を元のスイカの体積(4/3)πr^3から引けばスイカに空いた穴の
容積が得られるので、
(4/3)πr^3-{(4/3)π(r^2-d^2)√(r^2-d^2)}
-{(4/3)πr^3-(4/3)πr^2√(r^2-d^2)-(2/3)πd^2√(r^2-d^2)}
=2πd^2√(r^2-d^2)・・・答

お礼

いろいろな解き方を教えていただいてありがとうございます。

回答No.3

shuu_01

No.1 です

No.2 さんの回答も考え、日本語の文章としてはそっちの方が正解なのかもしれませんが、「積分の問題」とのことですので、No.2 さんのような回答をしてしまうと、「積分の問題」 にならないので、No.1 のような回答をしました。

問題作成者には日本語の勉強をして欲しいですね

以下のような問題文にすると曖昧さがなくなります

｜　半径ｒの球の形をしたスイカがあります。
｜　このスイカに底面の半径がd（＜ｒ）である
｜　よく切れる「円筒」を真上から垂直に刺します
｜　（スイカを突き抜けるまで）。
｜　このときくりぬかれたスイカの容積を求めよ。

今回は問題作成者の日本語の資質の欠損でまだ良いですが、
数学的資質の欠損した問題もあり、入試の時は腹が立ちました
（試験管を呼んで、「この問題 間違ってるぞ」 と注意しました）

お礼

図や詳しい説明、補足などありがとうございます。
すごく役に立ちました。

回答No.2

yyssaa

＞円柱を抜いた後で真横から見ると、スイカの上下が長さ2dだけ水平に
切り取られているように見え、切り取られた上下の面と面の間の長さを
2hとすると、三平方の定理によりd^2+h^2=r^2になるので、h=√(r^2-d^2)
から、スイカに空いた穴の容積は、半径d高さ2hの円柱の体積、すなわち
2πd^2√(r^2-d^2)・・・答

回答No.1

shuu_01

別にどうという問題でないですけど、、、と言いながら、おかしな解き方だったらどうしよう

スイカの中心を xyz座標の原点におくと、

スイカは x^2 ＋ y^2 ＋ z^2 ≦ r^2 で表せます

円柱は x^2 ＋ y^2 ≦ d^2

スイカの表面と円柱の表面が混じり合うのは、z ＝± √（r^2 - d^2） の時です

－ √（r^2 - d^2） ≦ z ≦＝ √（r^2 - d^2）

の時と -r ≦ z ≦－ √（r^2 - d^2） 、√（r^2 - d^2） ≦ z ≦ r

の時とで、積分することになりますが、上下対称ですので、上半分だけ計算して後で２倍するのが楽です

0 ≦ z ≦＝ √（r^2 - d^2） の範囲では

∫[ 0, 、√（r^2 - d^2） ] πd^2 dz ＝ ［πd^2 z］（0, 、√（r^2 - d^2））
＝ πd^2 √（r^2 －d^2）

です

まあ、半径 r、高さ √（r^2 - d^2） の体積ですから、当たり前ですよね

√（r^2 - d^2） ≦ z ≦ r　の範囲では

∫[ √（r^2 - d^2）、r ] π（√（r^2 － z^2）^2） dz
＝ ∫[ √（r^2 - d^2）、r ] π （r^2 － z^2） dz
＝ ［ π（r^2 z － z^3/3）］（√（r^2 - d^2）、r ）
＝ （2/3）πr^3 －（1/3）π（2r^2＋s^2）√（r^2 － d^2）

スイカに空いた穴の容積は

2πd^2 √（r^2 －d^2） ＋ （4/3）πr^3 －（2/3）π（2r^2＋d^2）√（r^2 － d^2）

＝ （4/3） π（r^3 ＋ d^2 √（r^2 － d^2） － r^2√（r^2 － d^2））