数学の問題です。お願いします。

質問

数学の問題です。お願いします。
半径a、高さ2aの円柱を、底面の直径を含み底面と45°の角をなす平面で切断する。切断されたそれぞれの部分の体積を求めよ。

回答No.4

gamma1854

すみません。極座標への変換により計算しています。s=sinφ の略です。
空間における「平面」z=y を考え、領域D上において積分します(これが問題の立体の体積です)。
V=∫∫[D]ydxdy
=∫[0~pi]{∫[0~a]rs*rdr}dφ
=(2/3)a^3.
となります。

回答No.3

gamma1854

うっかり勘違いし、失礼しました。
D={(x, y)| x^2+y^2≦a^2, 0≦y}として、小さいほうの体積Vは、
V=∫∫[D]ydxdy
=∫[0~pi]{∫[0~a]rs*rdr}dφ
=(2/3)a^3.
となります。

補足

解答ありがとうございます！
質問なのですが、
∫[0~pi]{∫[0~a]rs*rdr}dφ
この式のrsの部分がわかりません。
教えて欲しいです。

回答No.2

kiha181-tubasa

積分の計算になりますね。

45度の角度で切った立体（Ｔと名付けましょう）の体積を求めます。丁度ギョーザや切り分けたリンゴみたいな形になりますね。

底面の直径上に，円の中心を原点にしてx軸をとります。ただし，-a≦x≦a。
さて，底面上でx軸に垂直な直線が円周と交わる点とx軸との距離は
√(a^2-x^2)
となります。座標xの所でＴを45度の角度で切った図形は一辺が√(a^2-x^2)の直角二等辺三角形になり，その面積は
1/2(√(a^2-x^2))^2=1/2(a^2-x^2)
です。従ってＴの体積は
∫(-a→a)1/2(a^2-x^2)dx
=2∫(0→a)1/2(a^2-x^2)dx
=∫(0→a)(a^2-x^2)dx
=(2/3)a^3……（答）

円柱の体積は
πa^2*2a
=2πa^3
ですから，残りの部分の体積は
2πa^3-(2/3)a^3
=(2π-2/3)a^3……（答）
ではないでしょうか。

補足

解答ありがとうございます！
質問があるのですが、
底面上でx軸に垂直な直線が円周と交わる点とx軸との距離は√(a^2-x^2)
ここの部分がよくわかりません。
お願いします。

回答No.1

gamma1854

この場合は、計算するまでもなく立体は平面で２等分されます。