再び、「箱の中にボールの残る確率」に関する質問です

質問

直線状にn個並んだ箱の中に、全て1個ずつボールが入っています。但し、ボールは1/2の確率でその場に留まりますが、1/4の確率で1つ右側の箱に、同じく1/4の確率で1つ左側の箱に動きます。また、箱の外からボールが入ってくることはありません。

　このとき、ボールが最外の箱より外に出てしまう確率（ここでは、「最短ルートで最外の箱より外に出る確率」を「ボールが最外の箱より外に出てしまう確率」とします）を求めたいと思います。例えば、最外の箱よりも1つ内側の箱内にあるボールが、最外の箱よりも外に出てしまう確率は、

（最外の箱の中にあるボールが箱の外に出てしまう確率（＝1/4））×（1/4）^2

となります。（※ボールは1つの箱の中に何個でも入れられますが、他のボールを追い抜いて、その先の箱に入ることはできないものとします。例えば、左から順にA、B、Cとした3つの箱があり、それぞれの箱の中に、ボールa、ボールb、ボールcが入っているとすると、ボールbが最外の箱より外に出るためには、ボールaもしくはボールcが、最外の箱よりも外に出ている必要があります。）
　また、この計算の延長線上で、直線状にn個並んだ箱の中に、ボールが3個以上残る確率を計算したいと思います。1つずつパターンを書いて地道に計算することはできたのですが、式の形に表せていません。御教授いただけますと幸いです。よろしくお願い致します。

回答No.2

stomachman

ANo.1へのコメントについてです。
　どうも、ご自身のご質問の意味自体を理解なさっていないようです。また、正しくない計算結果を幾ら見せられたって、何の説明にもなりません。

[1]について：

> stomachmanさんの仰る“状態S”から、ボールaが右に動く場合には、ままず、ボールbが箱の外に出ていなければならないとしています。

「としています」ってのは、どういう意味でしょうか？「質問にそう書いた筈だ」という意味で仰ってるんですか？
　たとえば、10個の箱が横一列に並んでいて、ボールa, bが左端の箱にあるとしましょう。で、ここに引用したご説明によれば、ボールaが右に動くためには、それに先立ってボールb（これはボールaより左には存在できない）が「箱の外に出ていなければならない」のだから、ボールbは10個の箱全てを右に渡って行って、右端の箱から外にこぼれ落ちるのでなくてはならない。で、bが出てしまってようやくaが右に動けるようになる、ということですね。
　しかし、ご質問には、そんなことはヒトコトも書いてない。ご自分で質問文を読んで「ANo.1のコメントに書いたのと同じ意味だ」と本気で仰るのであれば、こりゃコトバが通じないのだから、この上回答を書くのは無駄でしかありません。

[2]について: 何も答えていらっしゃらない。「最短ルートで最外の箱より外に出る」とは、一体何が最短なんですか。時間ですか、通過する箱の数ですか、それとも何か別のことですか。

[3]について： ステップごとに場合分けなんかしたって、無限のステップを計算できやしません。
単に、どんな規則であれ、それが
(1)一度外に出たボールは戻って来ない、
(2)どのボールもいずれ動く、
(3)ボールの動きに関するルールはどの箱にそのボールが入っているかには関係なく、ボールが過去にどう動いたかにも関係ない、
という条件さえ満たせば、無限のステップの後には何も残らない確率が1に収束する。簡単なことですがね。

回答No.1

stomachman

えーと、題意を確認したいんですけど…

[1]ボールの動き方のルールについて
　ひとつの箱にボールaとボールbが入っている状態になったとします。この状態をSと書く事にします。
　状態Sから、ボールaが右に動く場合には、ボールbも一緒に右に動かねばなりません。ボールaが右に動く確率は1/4ですが、これが生じた時にはボールbが右に動く確率は1でなくてはならん訳です。
　状態Sから、ボールaが左に動く場合には、ボールbは左に動いても良いし、動かなくても良いし、右に動いても良い。この場合に、ボールbが右に動く確率をpとしましょう。
　状態Sから、ボールaが動かない場合に、ボールbが右に動くということが生じる確率をqとしましょう。
　すると状態Sでは
　　ボールbが右に動く確率 = ボールaが右に動く確率×1 + ボールaが左に動く確率×p + ボールaが動かない確率×q
である。さて、
　　ボールaが動かない確率 = 1/2
　　ボールaが右に動く確率 = 1/4
なのだから、
　　ボールbが右に動く確率 = 1/4
が成立つためには、
　　p=q=0
でなくてはならない。つまり、ボールbが右に行けるのは、ボールaが右に行く場合に限るのであり、そしてボールaが右に行くときには必ずボールbも右に行く、ということになります。
　同様に、状態Sにおいてボールbが左に動く場合にボールaがどう振る舞うかについて考えれば、結局、ボールaとボールbの動きは全く同じになるしかないと分かります。

　ですから結局、ひとつの箱に複数のボールがひとたび入ったら（当然、それらのボールは連続する名前(たとえばe,f,g,hのような)を持っている訳ですが）、以後、これらのボールは一斉にしか動けなくなります。つまり融合してひとつのボールになってしまったのと同じ事です。

　さて、これはご質問の意図に合致しているでしょうか？

[2] 「最短ルートで最外の箱より外に出る確率」
　長さの概念も、「ルート」という概念も全く説明されてされておらず、なので「最短ルート」と仰る意味もまるで分からない。一体何の話でしょうか？

[3] 「直線状にn個並んだ箱の中に、ボールが3個以上残る確率」
　これは「ボールの移動をいくら続けてもボールが3個以上残っているということが起こる確率」という意味でしょうか。ならば計算するまでもなく、その確率は0です。すべてのボールが、いずれどっちかの端から出て行く。

補足

返信が大変遅くなってしまい、申し訳ありません。
今回も、よろしくお願い致します。
まず、御指摘いただいた[2]に関してですが、例えば、左から順にA、B、C、D、Eとした5つの箱があり、それぞれの箱の中に、ボールa、b、c、d、eが入っているとすると、ボールbが最外の箱より外に出てしまう確率（最短ルートで最外の箱より外に出る確率）は、まず、BからAに移動（確率1/4）し、続いてAから箱の外に出る（確率1/4）であり、その間にボールaがこちらも最短ルートでAから外に出ている（確率1/4）必要があります。そのため、(1/4)^3としました。
次に、[1]に関してですが、stomachmanさんの仰る“状態S”から、ボールaが右に動く場合には、ままず、ボールbが箱の外に出ていなければならないとしています。例えば、ひとつの箱にボールa、b、c、d、e、fが入っているとし、この状態からボールdが右に動くには、ボールf、eが箱から出ている必要があります。つまり、ボールdが最外の箱より外に出てしまう確率は、（ボールfが最外の箱より外に出てしまう確率）×（ボールeが最外の箱より外に出てしまう確率）×（ボールdが左に動く確率）＝（ボールfが左に動く確率）×（ボールeが左に動く確率（但し、ボールfが最外の箱より外に出てしまっている必要がある））×（ボールdが左に動く確率）＝（1/4）×｛（1/4）^2｝×（1/4）となります。
最後に[3]に関しては、例えば、左から順にA、B、C、D、Eとした5つの箱があり、それぞれの箱の中に、ボールa、b、c、d、eが入っているとすると、ボールa及びボールeが最外の箱より外に出てしまう確率は1/4。ボールb及びボールdが最外の箱より外に出てしまう確率は（1/4）^3。ボールcが最外の箱より外に出てしまう確率は2×（1/4）^7（≒0）となります。この時、3つのボールが残るのは、abcの組み合わせと、bcdの組み合わせ、cdeの組み合わせ（abcの組み合わせと等価）です。abcもしくはcdeが残る確率は、｛（3/4）×（63/64）×1×（1/64）×（1/4）｝×2。bcdが残る場合は、（1/4）×（63/64）×1×（63/64）×（1/4）。4つのボールが残る場合は、abcdの組み合わせと、bcdeの組み合わせ（abcdと等価）があり、その確率は、｛（3/4）×（63/64）×1×（63/64）×（1/4）｝×2。5つのボールが残る確率は、（3/4）×（63/64）×1×（63/64）×（3/4）。よって、ボールが3つ以上残る確率は、それら全ての合計となり、この場合約98%となります。