確率の問題です。

質問

性別占いで、ピンク、青それぞれのボールを一つの同じ袋にいれました。
二人の人物がひとつづつその袋からボールをとりだします。
二つとも同じ色の場合は人物Aの勝ち
色違いの場合は人物Bの勝ちとする場合どちらの勝率も同じになるためにはそれぞれの色ののボールをいくつ用意する必要があるでしょうか？

こちらの問題の解き方を是非教えてください。

回答No.1

shuu_01

ピンクのボール x個、青のボール y個を袋に入れるとします

人物 A が勝つのは

　２個ともピンクの確率　｛x / （x ＋ y）｝・｛(x - 1） / （x ＋ y - 1）｝
　２個とも青の確率　　　｛y / （x＋ y）｝・｛(y - 1） / （x＋ y - 1）｝

　を足した、｛x（x - 1）＋ y（y - 1）｝/ （x + y）（x + y -1）

人物 B が勝つのは

　１米はピンク、２個目が青の確率　｛x / （x ＋ y）｝・｛y / （x ＋ y - 1）｝
　１米は青、２個目がピンクの確率　｛y / （x ＋ y）｝・｛x / （x ＋ t- 1）｝

　を足した、2xy / （x + y）（x + y -1）

となります。人物 A と B の勝率が同じになるためには

　｛x（x - 1）＋ y（y - 1）｝＝ 2xy

　　整理して （x - y）^2 ＝ x + y

　となるようにすれば良いです

　両辺が一致した時の値を k^2　とおくと

　x － y ＝ ±k、x + y ＝ k^2

　x － y ＝ k、x + y ＝ k^2　の方の解は

　x ＝ (k^2 + k)/2、y ＝(k^2 － k）/2

　グラフを描いてみると、
　x、y が整数になる k の最小値は k ＝ 2 の時で
　x ＝ 3、y ＝ 1

　x － y ＝ －k　の方の解でやってみると、
　たぶん（笑）　x ＝ 1、y ＝ 3 となるはず

【答え】ピンクのボール３個、青のボール１個
　　　　あるいは
　　　　ピンクのボール１個、青のボール３個

＊　なんかおかしな解き方をしちゃいました
　　もっと、正当な解き方を知りたいです

お礼

早速のご回答 ありがとうございます。
中2の娘の宿題の中の一つで、理屈はわかったのですが
式に表したり、実際の数となるとぼやけていました。
ご説明頂いた内容を十分理解できているとはまだ言い難いので、何度もやり直してみます。
助かりました！ありがとうございました。