黄チャートより二次方程式の整数の問題

質問

黄チャート数II　解と係数の関係、重要例題51からの質問です。

αβ－（α＋β）＝7
ゆえにαβ－（α＋β）＋1＝8
したがって　（αー1）（β－1）＝8

と解答の記述の流れがあります。
整数×整数＝整数の形に持って行くために三行目までの流れがあるとは書いてあるのですが。何をどう発想させたら、このような計算の流れになるのか教えてください。

回答No.4

ponponta73 · ベストアンサー

αβ-(α+β)+1自体の因数分解はおそらく事前に因数分解の単元でやっているはずで、(やってなかったらすみません)その経験から
「形が一部同じだな、とりあえずこれを使えるような形に直してみるか」
→「あ、なんか整数×整数の形になった！」
の様な形で、色々いじっていたら解ける形になった、というのが初めて解いた時の状態に近いと思います。

今回の様な問題を(類似問題も全くやらずに)初見で解くとなると、初めから整数×整数＝整数の形にするんだな、と発想できるような人はあまりいないのではないでしょうか。

解答の記述はどのように解いたかを分かりやすく最低限記してあるだけで、その間にある経験の取捨選択や試行錯誤は書かれていません。しかし、初見で問題を解くとなると、どうしてもそういったことが必要になってきます。そのため、初めての問題を解くときは、今の自分の知識・経験(の一部)を結びつけられないかどうかを探してみる練習もしていくといいと思います。

お礼

すみませんしばらくＰＣを使わない環境にあり、お礼が非常に遅れました。
思考回路がいちばんすっと頭に入ったこちらの回答をベストアンサーにさせていただきます。

＞今回の様な問題を(類似問題も全くやらずに)初見で解くとなると、初めから整数×整数＝整数の形にするんだな、と発想できるような人はあまりいないのではないでしょうか。
こういう記述もあり安心しました。だからこそ経験値を貯めないといけないですよね、頑張ります。

回答No.5

178-tall

不定方程式は、α, β の一方を与えて解いてみるのがふつう。

　αβ - (α＋β) = 7
は対称形(？)なので、βを与えてみると？
β=0 なら、
　α = -7
この {αo, βo} = {-7, 0} がいわゆる「特解」。

「一般解」の求め方は「題意に沿っていろいろ」…としか言えない。

上の例だと、β=βo + b と任意の b で振った結果から α = (7+b)/(b-1) が得られ、
　{α, β} = {(7+b)/(b-1), b }　　:　ただし b≠1
…などと記せる。
だが「整数解を求めよ」といわれると、その中から「整数ペア」を選別する手間を要する。

(α-1)(β-1) = 8 と「整形」しておくと？
「整数解を求めよ」のとき (…に限り、ですけど) 、初めから 8=(±1)*(±8) と 8=(±2)*(±4) にターゲットを絞れるわけです。

お礼

すみませんしばらくＰＣを使わない環境にあり、お礼が非常に遅れました。

回答いただきありがとうございました。

回答No.3

zacky93141

簡単に私の思考順序書きますね。

αβ-(α+β)＝7
まず因数分解して解が得られることを期待する。
因数分解の鉄則は変数の次数が小さいもので括る。
この場合、αもβも次数が1なのでどちらでも構わない。
αでまとめると

α(β－1)－β－7＝0

α、βが実数ならば、「～＝0」 の形で因数分解をして解を得る必要があるが、
α、βが整数ならば右辺に整数で残してもいいことを考慮すると、
少し式変形するとβ－1で括れることがわかる。

α(β－1)－(β－1)－8＝0
(α－1)(β－1)＝8

こんな感じですね。
参考になれば幸いです。

お礼

すみませんしばらくＰＣを使わない環境にあり、お礼が非常に遅れました。

とてもわかりやすかったです。言葉で理解しやすかったです。ベストアンサーの次点候補でした。お言葉だけにはなりますが、わかりやすい思考の流れにお礼申し上げます。

回答No.2

arubedo0946

数学には知ってるか知らないかという事が非常に重要な事が多いです。もしやった事が全くなくてとけるとしたら、ああでもないこうでもないとやってみてできた、という感じだと思いますよ。

お礼

すみませんしばらくＰＣを使わない環境にあり、お礼が非常に遅れました。
知っているか知らないかが重要なんですね。「解法暗記」という言葉があるのは、こういうことも絡むのでしょうか。。。
回答ありがとうございました。

回答No.1

Saturn5

解答の意味がわからないんじゃないですよね。
どうやったら、思いつくかですね。

これが、数学の最も奥が深いところだと思います。
そして、教える側が最も教えにくいところでもあります。

まずは、この解答のすばらしさを堪能してください。
そして、式の変換の代表的なものを覚えてください。
そうすれば、同種の問題はだんだんと解けるようになってくると思います。

お礼

すみませんしばらくＰＣを使わない環境にあり、お礼が非常に遅れました。

そうですか、、、これが数学の奥が深いところだとは。
あまり数学が得意でないのですが「解答のすばらしさを堪能」というポジティブな気持ちで取り組もうと思います。

明るい回答をありがとうございました。