2重積分 極座標

質問

∬[D]xdxdy D: 0≦r≦1/sinθ π/4≦θ≦π/2

詳しい解説お願いします。

特に（sinθ）^3をどうするかがわかりません。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>特に（sinθ）^3をどうするかがわかりません。

(sinθ）^3=(3/4)cosθ+(1/4)cos(3θ)
より

∫(sinθ）^3 dθ=(3/4)sinθ+(1/12)sin(3θ)+C

本題にもどって　x=rcosθ,y=rsinθより
　D:{(r,θ)|0≦r≦1/sinθ,π/4≦θ≦π/2}⇔{(x,y)|0≦x≦y≦1}
なので
　I=∬[D]xdxdy=∫[0,1]dy∫[0,y]xdx=∫[0,1] (1/2)y^2 dy=[(1/6)y^3][0,1]=1/6

お礼

なぜ、(sinθ）^3=(3/4)cosθ+(1/4)cos(3θ)となるのですか？

回答No.2

info22_

No.1です。

ANo.1の補足の質問の回答
>なぜ、(sinθ)^3=(3/4)cosθ+(1/4)cos(3θ)となるのですか？

３倍角の公式
　sin(3θ)=3sinθ－4(sinθ)^3
はどんな教科書や参考書にも載っている公式です。

この式を(sinθ)^3について解けばいいだけです。

　4(sinθ)^3=3sinθ-sin(3θ)
　(sinθ)^3=(3/4)cosθ+(1/4)cos(3θ)

お礼

わかりました。
ありがとうございます。