極座標での積分

質問

∫dx=∫dr∫dθ∫dφr^2 sinθ
とするとき、
ｒの範囲を（－∞～∞）
θの範囲を（0～π）
φの範囲を（0～π）
とやってもいいですか？？

回答No.1

adinat · ベストアンサー

理屈ではよさそうですが、やめておくことを勧めます。簡単のため2次元の場合を例に出します。
∫dxdy=∫dr∫dθ・r
で、rの範囲を(-∞～∞)、θの範囲を(0～π)にしようというわけですが、たとえばf(x,y)=x^2+y^2を|x^2+y^2|≦1のところで積分すると、
∫dr∫dθ・r・r^2
で、rは(-1～1)です。ところがr^3は奇関数だから0になる。しかしfは正の関数だから、これは間違った答えが出てきていることになります。rが負の領域では、偏角を180度ずらして議論しなくてはいけないので、少々ややこしい議論をすることになります。

なので、やはり基本に忠実に、rは[0,∞)、θは(0,2π)でやったほうがよいでしょう。

お礼

ありがとうございます。
二次元系だと確かにそうなりますね。
不勉強でした。
ただ三次元系ではヤコビアンがr^2で利いてるので
よいのではないのかと思うんですが、いかがでしょう？？
何回もすみません。

回答No.3

YHU00444

つらつらと考えてみたのですが、
たとえば、exp(-r^3)を3次元空間全体で積分すると、θ,φについては立体角の積分で4πだから
4π∫r^2*dr*exp(-r^3)
=4π/3∫d(r^3)*exp(-r^3)
=-4π/3{[exp(-r^3)]r=∞ - [exp(-r^3)]r=0}
=4π/3
と有限の値を取ります。

ところがこの積分は、r<0では常にexp(-r^3)>1となるため、rが負の領域で積分すると明らかに発散してしまいます。
というわけで、ご質問の主題が成立しない場合があるのは確かなようです。

※直感的には、rとφについて偶関数になる場合にのみ題意が成り立ちそうな気はします。

回答No.2

YHU00444

単純にケアレスミスだと思いますが、
>ｒの範囲を（－∞～∞）
はｒの範囲を（0～∞）、そして
>φの範囲を（0～π）
はφの範囲を（0～2π）にしないとアウトでしょう。
※ちなみに∫dxは∫dx*dy*dxのことですよね？
（θはz軸となす角、φはxy象限でx軸となす角）

これならば物理系で頻出の式変形になります。
※∫dr∫rdθ∫rsinθdφと書く方が直感的に理解しやすい