基礎マクロ経済学の計算[微分]

質問

数学カテゴリと迷いましたが、ここで。
代入して解く方法(下記の(1))と全微分して解く方法(2
)とで、答えが異なってしまいます。計算上の誤りの原因を教えてください。

総需要曲線ADを
Y=(5/2)(10+G+400/P)
とします。財政支出(もとの水準は50)Gの増加によって均衡を(Y,P)=(400,4)から(500,5)にしたいばあい、Gの増加分を求めます。

(解答1)
ADに (500,5)を代入してGの変化分を見る。ΔG=60.(正答)

(解答2)
ADを全微分すると
ΔY=(5/2)(ΔG-(400/P^2)ΔP)
ΔY=100,ΔP=1,P=4だから、ΔG=65

よろしくお願いします。

回答No.1

statecollege · ベストアンサー

微分の操作というのは、微小量の変化に対して成立し、変化量がが大きいときはあくまでも近似的にしか成立しません。例外は関数が線形（一次式）のときだけです。あなたの質問のAD式は非線形（４００/Pの部分が非線形になっている）なので、全微分しても近似的に妥当する結果しか得られないのです。簡単な例で説明しましょう。
　　Z = XY
という非線形の式を考えましょう。全微分すると、
　ΔZ=YΔX＋XΔY
となります。しかし、より正確には
　ΔZ=YΔX+XΔY+ΔXΔY
となるのですが、ΔXとΔYがゼロにかぎりなく近い"微小量"ならば、ΔXΔYは無視しても差し支えないので、この項を無視して得られたのが全微分の結果（最初のほうの式）です。しかし、ΔXあるいはΔYが"無視できない"大きな値なら、最初のほうの式（全微分の式）を使うと誤差が大きくなり、正確な値からの乖離が大きくなります。2番目の式で計算する必要があるのです。
あなたの質問の場合も、変化量の大きな問題に対して全微分を使おうとしているので、誤差が大きくなるのです！

お礼

>例外は関数 が線形（一次式）のと きだけです。
肝に命じておきます。ご回答ありがとうございました!