数学難問

質問

ぜひよろしくお願いします！

回答No.2

selpo · ベストアンサー

f[n](x)
f[n](x)=∫[0,x] f[n-1](t)dt
というふうに書き表します。

(1)定義通り計算しましょう。
f[1](x)=∫[0,x]sin(t)dt=1-cos(x)
f[2](x)=∫[0,x](1-cos(t))dt=x-sin(x)

(2)数学的帰納法が考えやすいでしょう。
(i)n=0のとき
これは、(1)より、f[0](x)+f[2](x)=xとなって成立しています。
(ii)n=kのとき
f[k](x)+f[k+2](x)=x^(k+1)/(k+1)!
が成り立つと仮定しましょう。この式を[0,x]で積分すると、f[n](x)の定義から、左辺は
∫[0,x](f[k](t)+f[k+2](t))dt=f[k+1](x)+f[k+3](x)
となります。右辺は
∫[0,x](t^(k+1)/(k+1)!)dt=x^(k+2)/(k+2)!
よって
f[k+1](x)+f[k+3](x)=x^(k+2)/(k+2)!
となり、n=k+1でも成り立ちます.
(i),(ii)から、題意が示されます。

(3)f[n](x)≧0はよろしいでしょうか。いま、0≦x≦π/4ですので、f[0](x)=sin(x)≧0です。
f[1](x)は、常に正である関数を積分するので、正です。
以下同様にf[n](x)はすべて正です(数学的帰納法で容易に示せます)。
すると、(2)と合わせて、
0≦f[n](x)=x^(n+1)/(n+1)!-f[n+2](x)≦x^(n+1)/(n+1)!
今、n→∞でx^(n+1)/(n+1)!→0です。

というのも、n≧2xとなる最小の自然数をNとして、n≧Nのとき、
x^(n+1)/(n+1)!=(x^(N+1)/(N+1)!)*(x/(N+2))*(x/(N+3))*…*(x/(n+1))
ここで、0≦x/(n+1)≦…≦x/(N+3)≦x/(N+2)≦1/2ですので、
0≦x^(n+1)/(n+1)!≦(x^(N+1)/(N+1)!)*(1/2)^(n-N)
よって、挟み撃ちの原理から、x^(n+1)/(n+1)!はn→∞で0に収束します。

0≦f[n](x)=x^(n+1)/(n+1)!-f[n+2](x)≦x^(n+1)/(n+1)!
でしたので、f[n](x)も0に収束します。

(4)(2)の結果より、f[n](x)の一般項が求まります。それでも解けますが、ここでは違う考え方をします。
f[1](x)=1-cos(x)であったので、
cos(x)=1-f[1](x)
(2)より、f[1](x)+f[3](x)=x^2/2!なので、
cos(x)
=1-x^2/2!+f[3](x)
=1-x^2/2!+x^4/4!-f[5](x)
…
=1-x^2/2!+x^4/4!+…+((-1)^n)x^(2n)/(2n)!-((-1)^n)f[2n+1](x)
つまり、
cos(x)=Σ[k=0,n]((-1)^k)x^(2k)/(2k)!-((-1)^n)f[2n+1](x)
((-1)^(n+1))f[2n+1](x)=cos(x)-Σ[k=0,n]((-1)^k)x^(2k)/(2k)!
(3)より、n→∞でf[2n+1](x)→0なので、
cos(x)=Σ[k=0,∞]((-1)^k)x^(2k)/(2k)!
これでx=π/6として、
=Σ[k=0,∞]((-1)^k)(π/6)^(2k)/(2k)!=cos(π/6)=(√3)/2
と求まります。

この問題は、cos(x)のマクローリン展開を題材にしています。興味があったらググってみるといいでしょう。

お礼

こんなに詳しく説明していただいて、本当にありがとうございました！
さっそく、cos(x)のマクローリン展開をググってみました♪

回答No.1

Tacosan

できるところは自分でやれ.

その上で, 「わからないところ」を質問しろ.

補足

最後の問だけができないんです。