シュッツ 相対論入門 P.12

質問

⊿s^2=0のとき⊿s'^2=0も0にならなければいけない．

という記述があるのですが，これは観測者の時空図と相対運動している別の観測者の時空図の座標の原点が一致しているからですか？

また
M_ab+M_baだけが式(1.2)に表れるから，すべてのaとbに対してM_ab=M_baと仮定できる．
というのは
(M_ab+M_ba)という項しかないため，M_ab=M_baと考えても結果は変わらないからいいじゃないか
ということですか？

回答No.1

noname#185374 · ベストアンサー

（１）⊿s^2 = 0　ということは二つの事象が一つの光の世界線上にあるということで，その場合には，光速度の普遍性により O' 系においても光速は１ですから，⊿s'^2 = 0 になるという意味だと思います．

（２）はい．M_αβ = M_βα　を仮定せずに式を進めると，(1.3)の 2 M_0i と(1.4a)の M_0i が M_0i + M_i0 に置き換わりますが，(1.4c)の次の　⊿s'^2 = ・・・　の式は同じものになるからだと思います．

お礼

回答ありがとうございます．
P.11に(1)については書いてありましたね．

回答No.2

endlessriver

シュッツの本がないので論点がずれるかもしれませんが、一般に⊿s'^2=⊿s^2だから結論が
得られます。

メラーの本によると(xi')(xi)の組がローレンツ変換
xi'=Σk(αik)(xk)・・・・(1)

を満たせばs'^2=s^2が成り立つ。他の座標
yi'=Σk(αik)(yk)についても同様である。この差をとると

(xi'-yi')=Σk(αik)(xk-yk)・・・・・(2)
となりますが、(xi'-yi'),(xi-yi)の組も(1)を満たしており、s'^2=s^2をみたす。

これは
⊿s'^2=⊿s^2・・・・・・(3)

のことである。
ここで、時空図の原点の一致が関係しているかですが、一般の座標で時刻合わせをすると
ローレンツ変換は（詳細は述べませんが）

xi'=Σk(αik)(xk)+Ai・・・・(4)
となります。Aiはvのみによる定数です。

この式でも、Aiが消去され、同様に(2)が成り立ち、(3)が成り立ちます。
つまり、原点の一致は関係なく、ローレンツ変換の線形性によるものです。

後半は、２次形式の議論で一般に使用される方法です。

お礼

回答ありがとうございます．
シュッツでは
⊿s'^2=⊿s^2
を示すために質問の内容を使っています．