数学IIの相異なる2実数解の問題で分からない所が…

質問

少し困惑しているのでご指導下さい。m(__)m

数IIを独学でやっています。まず、前提で判別式Dはb^2-4acですよね。判別式を用いる問題なんですが…

二次方程式x^+2mx+m+2=0（m=実数）の相異なる2実数解αとβが次の条件を満たす時、定数ｍの取り得る値の範囲を求めよ
・αとβが共に正

この問題のヒントの部分で「αとβが共に正の時、D/4＞0　α+β＞0　α・β＞0」と記載されていて、何故D＞0じゃないのか…という辺りから躓いています。私見でb^2-4acの4が間際らしいから両辺で割っているんだな…とは思っていたんですが、その後の回答前の解き方の模範的なやり方を記述している場所では「二次方程式の各実数係数をa＝1　b=2b`=2m c=m+2とおき、この判別式をDとおこう」と書かれていて、何故ｂだけ一度変な書き方にするんだ？と頭がゴチャゴチャしています。
肝心の解答ですが、
D/4＝b`2-ac＝ｍ＾2-1・（m+2）＝m^2-m-2＞0　
（m-2）（m+1)＞0　
∴m<-1または2<m
この様に書かれていて、「何故2m^2がただのm^2になっているんだ？」と余計混乱しています。二行目以降の式は勿論分かるんですが、一行目の「D/4にする理由」「何故b`2と間際らしく書くのか」「2mを二乗してどうして4ｍ＾2にならずにm^2になるのか」この3つが分かりません。
特に三番目は仮にD/4にする為に4で割っているのであれば、ここが仮に4では無く3だったらどうなるんだ…？なんて思って先に進めません。

何故こうなるのか3つの問にご回答下さい。よろしくお願いします。

回答No.3

mnakauye · ベストアンサー

こんにちは。

　みなさんが丁寧に答えてくださっているので、

混乱されているポイントのみ書きます。

>少し困惑しているのでご指導下さい。m(__)m
>
>数IIを独学でやっています。まず、前提で判別式Dはb^2-4acですよね。

>判別式を用いる問題なんですが…
>

　この前提ですが、もとの二次式は、ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃ＝０　の場合ですね。

　もとの二次式が、一次の係数が偶数のとき、

　ａｘ＾２＋２ｂｘ＋ｃ＝０　の形ですから、

　　判別式は、Ｄ＝４ｂ＾２－４ｂｃ＝４（ｂ＾２－ａｃ）

　になりますね。

　そこで、判別式と言うのは、数のおおきさではなくて、

　正か負かゼロか、が大切なので、

　（）内だけを考えれば良いですね。

　ここで、ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃ＝０に対して、同じ文字ｂを使ったａｘ＾２＋２ｂｘ＋ｃ＝０　だと

　混乱しますから、　ａｘ＾２＋２ｂ’ｘ＋ｃ＝０　とダッシュを使うのです。

　これらの式で、ａ，ｂ，ｃを使うのは、係数の順番も暗黙のうちに示していますから、

　別のｄやｅを使った、

　ａｘ＾２＋２ｄｘ＋ｃ＝０

　ａｘ＾２＋２ｅｘ＋ｃ＝０

　を使わずに、ｂダッシュを使うのです。

　そしてそもそもの最初の判別式　Ｄ＝ｂ＾２－４ａｃ　に対して、

　　ｂ’＾２－ａｃ　はＤの４分の一なのでをＤ／４と書くのです。　

　　Ｄダッシュ　つまりＤ’＝ｂ’＾２－ａｃ　と書く本もあります。

　次に

　４だけがでてくるのは、４ａｃがあるからですが、

　これも　ａやｃの数を考えると、ほかの数字もでないことはないです。

　それが出てこないのは、そんなにいろいろ場合を増やしては混乱するからということだけです。

　以上です。

　独学とのこと、がんばってください。

お礼

曖昧な部分の謎に合点がいきました。ご回答有難うございます。

頑張りますm(__)m

回答No.2

chie65536（@chie65535）

＞何故ｂだけ一度変な書き方にするんだ？と頭がゴチャゴチャしています。

いきなり「b=2m」でも良いんだけど「ｍを、bダッシュと置くと、2m=2bダッシュ、2bダッシュ=ｂと置ける」ってだけ。

その後で「ｂ^2」を考えれば「b^2=(2m)^2=4m^2」になるよね？

D=b^2-4ac

は

D=4m^2-4ac

な訳だから、両辺を４で割って

D/4=m^2-ac

に出来るよね？

ａは「1」、ｃは「m+2」なんだから「-ac」は「-m-2」になる。

すると

D/4=m^2-m-2

で、これが「０より大きい」って事。

m^2-m-2＞0

って事だから

m^2-m-2＝(m-2)(m+1)

から

(m-2)(m+1)＞０

が導ける。

(m-2)(m+1)＞０

になるのは

(m-2)と(m+1)の両方がマイナスの時

と

(m-2)と(m+1)の両方がプラスの時

のどっちか。

「(m-2)と(m+1)の両方がマイナスの時」は「ｍ＜-1の時」で、

「(m-2)と(m+1)の両方がプラスの時」は「２＜ｍの時」です。

つまり「ｍ＜-1または２＜ｍ」が答え。

＞「何故2m^2がただのm^2になっているんだ？」と余計混乱しています。

「2m^2」は「４で割ってない判定式」の一部。

「m^2」は「４で割ってある判定式」の一部。

「(2m)^2」は「2×m×２×m」なんだから、４で割ったら「m×ｍ」つまり「m^2」になるでしょ？（「(2m)^2」のカッコの位置に注意）

お礼

ご回答有難うございます。ようやく理解する事が出来ました。
丁寧なご回答で非常に助かりました。

回答No.1

Tacosan

x の係数が偶数だと判別式全体が 4 でくくれるから (ほんのちょっと) 式が簡単になる, というだけのこと.

「間際らしい」ってなんだ.

お礼

ご指摘ありがとうございます。打ち間違えで正しくは「紛らわしい」でしたorz
偶数で括ると分かりやすくなるというのは分かったんですが、二乗する前からD/4となっているのは判別式4acの4の部分があったからですよね。それでは何故その後出てくる2m^2の4が単独で消えるのでしょうか…。初めから分かっていたから4m^2の4も一緒になって最初に消したのでしょうか。それでは仮にここが2mxでは無く3mxだったらDはそのままでD=3ｍ＾2-4・1・（ｍ+2）となるのでしょうか。それとも、D/4＝9m^2-m-2となるのでしょうか。
お手数ですが、こちらにもお答え頂けないでしょうか。