時刻を求める問題

質問

以下の問題なのですが、万有引力などを考慮する問題なのでしょうか。
また、地球の半径がどのように関わってくるのか、よくわからないです。

問題
　A駅ーB駅間を結ぶ長さ640kmの直線上のトンネル内を列車が運行している。空気抵抗や摩擦抵抗がないものとすると、列車はA駅から初速度0で出発しても、重力によりB駅に到達することができる。この列車が、A駅を午前8時に初速度0で出発したとき、B駅に到着する時刻を秒単位まで答えなさい。ただし、円周率π=3.14とし、地球の半径を6400km、トンネル内における重力加速度を10m/（s^2）(一定)とする。また、列車の長さは無視してよい。

回答No.5

hitokotonusi · ベストアンサー

いきなり数字を入れずに抽象化して計算したほうがいいですよ。
変数の定義などの詳細は省略しますが，

運動方程式　mx'' = - mg sinθ　('は時間微分)

d=640km, R=6400km, トンネルと地球中心の距離L，とするとd=R/10なので

x = L tanθ
L = √[ R^2 - (d/2)^2 ] = √[ R^2 - (R/20)^2 ] = R √[399/400]

ここで有効数字が2桁，また，重力加速度を10m/s^2としている近似精度からすると，

√[399/400]～1.0

でかまわないので，L ～ R。

また，θの範囲は1に比べて十分に小さいので

sinθ～θ～tanθ= x/L ～ x/R

したがって，運動方程式から

x'' = - g (x/R)　= -(g/R) x

これから角振動数はω = √[g/R]，周期はT = 2π√[R/g]

数字を入れると

R/g = 6400x1000/10 = (800)^2

なので，

T = 1600π

片道に要する時間はこの半分で

t(AB) = 800π

ちなみに，ちゃんと計算するとLとRの差はおよそ9kmなので，地球半径6400kmからすると十分無視できますが，地表から考えると，トンネルのまん中は地表下9kmの深さを走っています。つまり，A-Bが直線なので水平に走っているような気分ですが，実際は地球が球形であるために，地球的にはずいぶんと“落ちて”いることになります。ちなみに富士山の高さは3776m，この深さの半分もありません。

お礼

よく理解できました。詳細な説明をしていただき、ありがとうございました。

回答No.8

中村 拓男（@tknakamuri）

>本気で秒単位まで答えるためには少なくとも 4桁の精度が必要なんじゃないかな?

私もそう思います。厳密解を厳密なパラメータで数値シミュレーションしてみないとどの程度の誤差が
入ってくるかわからないですが、数分の誤差があるでしょうね。

回答No.7

Tacosan

本題ではないのですが, #5 を見て問題に引っ掛かりを感じた.

#5 に「有効数字が2桁，また，重力加速度を10m/s^2としている近似精度からすると」とあるんだけど, これをそのまま適用したら「B駅に到着する時刻を『秒単位まで』答えなさい」に意味がない気がする. #4 の結果からすると, 本気で秒単位まで答えるためには少なくとも 4桁の精度が必要なんじゃないかな?

回答No.6

中村 拓男（@tknakamuri）

>d^2x/dt^2=(-g/√(6391000+x^2))x

たしかに ^2 が抜けてました(^^;

d^2x/dt^2=(-g/√(6391000^2+x^2))x

パラメータの有効桁数が 1～3 くらいだから

6391000^2 >> x^2 で 6391000 ≒ 6400000

とすれば

d^2x/dt^2=(-g/6400000)x

でよかろうということです。

この解で面白いのは、オンネルの長さにかかわらず A から B への
時間が一定ということですね。

お礼

ありがとうございました。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

AとBの中間点を位置の基準とし、列車の
位置をxとすると、中間点と地球中心までの
距離は√(6400000^2-320000^2)=6391km

運動方程式は
d^2x/dt^2=(-g/√(6391000+x^2))x
≒(-g/6400000)x

近似式の方は単振動なので、これで解くと
ω=√(g/6400000)

AからBまで行く時間は半周期なので
T/2=π√(6400000/g)=2513秒

つまり到着は　8時41分53秒　着

重力地下鉄ってものすごいスピードですね。

補足

d^2x/dt^2=(-g/√(6391000+x^2))x
≒(-g/6400000)x

なのですが、初めて見る形です。調べても、上手くこの形が見つかりません。すいませんが、詳しく解説していただけませんか。

また、6391000が二乗になっていませんが、この形でよいのでしょうか。

回答No.3

hitokotonusi

まあ，実現可能性があるかどうかは別にして，添付図のような話でしょう。
地球は完全な球体とする。また，おそらく地球の自転による遠心力も無視して，重力は地球の中心を向いている。

お礼

よく調べたら、似たような図が見つかりました。
ありがとうございます。

回答No.2

Cupper-2

つーか、移動速度・加速がどこにも示されていないんだけど？

質問文からはA-B間の高低差の記述がないことから同じ標高にあると考えるのが妥当です。
この場合、重力加速度は何の意味も持ちません。
＞列車はA駅から初速度0で出発しても、重力によりB駅に到達することができる。
「できるわけないだろ！」
と答えればOK。

ひょっとして設問の一部だけを抜き出して記述しているとか…そんな条件後出しの質問は嫌ですよ？

お礼

ありがとうございます。
問題文そのままの記述です。

回答No.1

chie65536（@chie65535）

＞万有引力などを考慮する問題なのでしょうか。

初速0、加速度が10m/（s^2)の移動体が、640km進むのに、何秒かかるか？

＞また、地球の半径がどのように関わってくるのか、よくわからないです。

問題文の中には「不必要な情報」が沢山散らばっています。

加速度と時間をちゃんと理解していれば「何が必要な情報で、何が不必要な情報なのか？」を、問題文から読み取れる筈です。

問題文の中の「余計な物」を見抜けないって事は「加速度について、ちゃんと理解できていない」って事です。