nCr=n-rCr-1 + n-1Crについて

質問

数Aの組み合わせの公式で
この公式について自分の使っている参考書の解説で

この公式を理解するには
nの中の特定の一人に注目すればいい。特定の人をaくんとして
n人の中からr人を選びだす時にaくんは選ばれるか選ばれないかのいづれかでこれらは排反である。

a君がr人に選ばれる時　r人のうち1つの席はa君のために用意されているので
残りn-1人からr-1人を選ぶことになるので　n-1 C r-1

aがr人に選ばれない時、残りn-1人からr人を選ぶことになる。　 n-1Cr

a君が選ばれる(n-1 C r-1)
a君が選ばれない( n-1Cr)
これらは排反なので　和の法則よりnCr=n-rCr-1 + n-1Cr　が導かれる。

とのことなのですが
いまいち理解ができません。

なぜ(n-1 C r-1)と( n-1Cr)が排反であれば和が　nCr　こうなるのでしょうか？

回答No.1

aguriasu2 · ベストアンサー

結構解りやすく書いてあるので、一番いいのは質問文を繰り返し読み理解することですね。

それか、何も考えずに公式を丸暗記してしまうのも一つの手です。

大事なことは、
確率の世界なら、起こる確率＋起こらない確率＝1(全体)
組み合わせなら、起こる組み合わせ＋起こらない組み合わせ＝全体の組み合わせ数
ってことです。

一応この説明文の通りにいくと、
nCrは　『ｎ人の中からｒ人を選ぶ際の組み合わせ』　となります。

例として数字を入れちゃいます。
『10人の中から3人を選ぶ際の組み合わせ』としましょう。
ここでA君に注目します。
10人の中からA君が選ばれる(3人の中に入っている）組み合わせ　と　A君が選ばれない(3人の中に入っていない)組み合わせ　の合計って勿論『10人の中から3人を選ぶ組み合わせ』になりますよね。

10人の中からA君が選ばれる(3人の中に入っている）・・・9C2
A君が選ばれない(3人の中に入っていない)　　　　・・・9C3

なので
10C3＝9C2　＋9C3
となります。