対数関数のグラフについて

質問

logの所で分からない事があります。

logに関しては授業としては一応習い終わったのですが
習ってる時からグラフの部分があまり分かっていませんでした。

1次関数のグラフはなんとかできますが
その頃からグラフが特別苦手です。
中学レベルの数学もできない箇所があるのに、logのグラフをやる時点で無理があるのは重々分かっていますが、それでもやらなくてはならず

中学箇所の補強をしている時間もありません。

y=loga xのところで

問題は

「y=2log2 2(x-1)のグラフを書きなさい」です。

私は下記のように答えました。

「2y=2
(2~y)~2=2~2
2~2~y=4(x-1)
2~2~y=4x-4
4x-4=4y」

記号の使い方があっているか分かりませんが
前半部分の読み
2のｙ乗＝2
（2のｙ乗）2乗＝2の2乗
2の2ｙ乗＝4(x-1)
です。

解き終わって、グラフを書いたら直線になったので
その時点で間違っている事は分かったのですが、それ以外の考えが思いつきませんでした。

この問題は授業で答え合わせも終わっているのですが
ペースが速いため、自分の理解が追いつかず、
一応正答をノートに書いただけになっています。

答えは
2｛log2 2+log2(x-1)｝
=2+2log2(x-1)です。

私の答えが正答とは違うので間違っているのは分かりますし
考え方も全く違うように見えますから、根本的に考え方が間違っているのだとも分かります。

ただ、それで納得ができません。
私が上記のような考え方をしたのは

その直前にやったところで
loga Mp=ploga Mが成り立つことを示しなさいで

log a Mp
↓
a~r=M
↓
(a~r)=Mp
↓
a~r~p=Mp

というのがあったので、
こういう考えに到りました。

結局、こういう間違った考えに到ってしまうレベルの頭という事なのですが
その私にでも分かるように、私の間違いを指摘していただきたいです。
この考えと、グラフの解き方の考えが違うという意味だけで無く
もっと詳しく間違いを指摘していただきたいです。

納得できずモヤモヤしています。

回答No.5

alice_44 · ベストアンサー

(２のｙ乗)の２乗＝２の(２ｙ)乗　は合っていますが、
２の２ｙ乗＝４ｙ　は理解不能です。
２の(２ｙ)乗＝(２の２乗)のｙ乗＝４のｙ乗　なら成り立ちます。
しかし、前述のとおり、
２の(２のｙ乗)乗＝４のｙ乗　は成り立ちませんから、
今回の式変形には使えないかと思います。

ともかく、計算間違い以前に、最低限、
与えられた式を勝手に改変しないことから出発してください。
等式変形をすることと、関係ない式に取り替えることは、
全く違います。

お礼

冷静な状態で考えて、そうですね。

４ｙではなく４のｙ乗ですよね。

結果解けないのは分かっているのに、解きたくなってしまうんですよね。
基礎から学びなおします。

回答No.6

hg3

No2です。

補足ありがとうございました。

＞最初に言っておきたいのは、この式は間違いではありません。
＞授業中に習ったものをそのまま書いただけなので。
しかし、あなたは、書き方が曖昧だったり、必要な情報を書き忘れていたりしています。
こちらは、あなたの質問文しか見ていないわけで、そこに間違いがあれば、当然それを指摘します。
ちなみにMpと書くと、普通はM×pの意味になります。勝手に^を省略してはいけません。このように自分勝手な書き方をしていると、必ず間違います。そのようなことをしているから、(x-1)を外してしまうというような間違った式の変形をしてしまうわけです。No5の回答にある通り、式を変形することと勝手に書き換えることは全然違う事なのです。細かいことでも常に正しい書き方をするようにしましょう。これは基本中の基本です。

「loga Mp」は「logaM^p」であることが分かりましたし、「a^r=M⇔r=loga M」が書いていないかったことも分かりました。

しかし、まだ間違いがありますよ。
　a~r=M
↓
(a~r)=Mp
はおかしいです。MpがM^pであったとしてもです。

おそらく、　(a^r)^p=M^p　の間違いですよね。
何故、　(a^r)^p=M^p　が出てくるかは分かってますか？

ここが、(a^r)^p=M^p　であれば、次の式は　a^r^p＝M^p　というのは当たり前ですね。
さらにもうひとつ式の変形があるのでは？
最後は、a^（r×p）＝M^p　ではないですか？

あなた自身は、最後の式がなくて、この式の変形の意味を理解できるているのでしょうか？
念のため説明しますと、

a^（r×p）＝M^p　を、「a^r=M⇔r=loga M」に当てはめると、
（r×p)＝loga M^p となります。
ここで、r＝loga Mなので、ｒをloga Mで置き換えて
（loga M)×ｐ＝loga M^p となり、
loga M^p ＝p×loga M　が証明できるということですよ。

さて、これで、後半部分の式の変形で何を言いたかったかは分かりました。

次に、ご質問のあなたの間違いの指摘についてです。

最初の式　y=2log2 2(x-1)　を
2のy乗＝2(x-1)　と考えたところが間違いです。
（x-1)を省いたとありましたから、省かないで書きました。

もう一度、「a^r=M⇔r=loga M」と良く比べてください。
y=2log2 2(x-1)の、2をaと置き換え、ｙをrと置き換え、2(x-1)をMと置き換えたとしたら、
ｒ＝2loga M となります。　r=loga M　にはなりません。
従って、「a^r=M⇔r=loga M」を当てはめても、a^r=M　にはなりません。
(x-1)だけでなく、logの前の2も外してますね。

つまり、どこをどうやっても、最初の式　2のy乗＝2　にはならないのです。
ここが全ての間違いのもとです。
この後の計算の間違いは前の回答の指摘の通りですが、例えそこをすべて正しく計算できたとしても、最初が違いますから、絶対に正解にはたどりつきません。

前の回答にもありますが、式から、勝手に数字や文字を外してはいけません。これは絶対のルールです。
どうにかして解きたいという思いから・・・とありますが、そういう問題ではありません。
例えば、「(2+3)×4＝20」　から4を外して良いと思いますか？
外したら、(2+3)=20となってしまいますから絶対にダメなことは分かりますよね。

”でも、あとで戻せばいいじゃん”と考えてませんか。
確かに、(2+3)=20　として　2+3　を計算し、　5＝20　としてから、4を戻して
5×4=20とすればつじつまが合うように思うかもしれませんが、そうではありません。
途中の(2+3)=20や5＝20は、どうみたっておかしいですよね。
もし　(2+3)=20　とした後、(2+3)^2＝20^2　として、5^2＝400、25＝400　とした後、4を戻しても
25×4＝400　となりますから、最終的にも正しい答えが得られないことは明白ですね。

グラフが苦手うんぬんの前に、まずは、数学の基本的なルールを守るところから復習してください。

お礼

回答ありがとうございます。

問題を変えたら何をしても解けない事は分かってはいるので
一番はその時点で、解けない事を認めればいいのですが
周りが解いてる中、何もしていない状況に堪えられなくなり、このような状況に…。

質問を書いていた時も少々テンションが高ぶっていたので、
また数学という事もあり、色々入力ミスがあったようです。

分からなさすぎて質問分も分からなくなっていました。

回答No.4

alice_44

＞ 2^2^y=4(x-1)
＞ の式まで(x-1)部分を除いて考えています。
＞ こういう事は式としてあり得ないとは分かっていますが。
＞ y=2log2 2だけの部分だけを最初の2行は計算しています。

式としてあり得ないことです。
分かっているなら、以後繰り返さないほうがいいですね。

y = 2 log2 2(x-1)　は、
y = 2 log2 2　という意味ではないです。
式を途中で勝手に変更しては、正しい結果は得られません。

y = 2 log2 2 = log2 (2^2)　を変形したとしても、
2^y = 2^2　となり、
2^y = 2　じゃありませんしね。
loga (M^p) = p loga M　を参考にしたのでしょう？

対数を指数で書き直す方向で考えたのなら、
y = 2 log2 2(x-1)　を、
y = log2 (2(x-1))^2　と変形して
2^y = 4(x-1)^2　とするか、

y/2 = log2 2(x-1)　と変形して
2^(y/2) = 2(x-1)　とするかでしょう。

2^(y/2) = 2(x-1)　の両辺を二乗すれば、
2^y = 4(x-1)^2　になります。

貴方の説明不足の式変形が、実際どんなものだったにせよ、
＞ 解き終わって、グラフを書いたら直線になったので
となったのであれば、
「4x-4=4y」を直線と思ってしまったとしか考えにくい。

でも、それの右辺は「4のy乗」だったのではありませんか？
2^(2^y) を = 4^y と変形することも間違いなので、
4x-4 = 4^y ならいいという訳でもないのですが、
「4x-4=4y」が直線　…は、さすがにちょっとねぇ。

「2のy乗=2」を「2y=2」と書いたのは、パソコン上で表記する
ための便宜だったはずで、ノート上では、2 の右肩に小さく y と
書いたあったんですよね？

お礼

回答ありがとうございます。

問題を見た時から、私には解けないと思い
どうにかして解きたいという思いから、(x-1)を外してしまいました。

焦ってはいけないのは分かっているのですが
焦ると色々やってはいけないであろうことをやってしまいます。

右辺は4のy乗ではありませんでした。4yです。
最終的には4x-4=4yで直線のグラフになりました。
ノートには

自分で記号で書くとあっているのか分からなくなってきたので文字で書きますが
(２のｙ乗）の２乗＝２の２ｙ乗＝４ｙになってます。

回答No.3

alice_44

←A No.1 補足
＞ それと同じやり方を、当てはめました。

何に何を当てはめたら、「2のｙ乗＝2」という式が現れたのか
その経過を、具体的に書いてごらんなさい。

＞ というのがあったので、
＞ こういう考えに到りました。

「というのがあったので」それで何故、「こういう考えに到」ったのか
そこからそこへ話がどう繋がるのかを。

おそらく、貴方の「考え」の最大の問題点は、
そこの繋がりを詰めなくても不安を感じない大雑把さにあるのだと思う。
式変形には、根拠が必要ですよ。

お礼

土日と授業があり、こちらをあまり確認出来なかったので
遅くなりすみません。

再度回答ありがとうございます。

決して大ざっぱに書いているのでは無く、これ以上説明のしようが無いということしか言いようがありません。

一つ書き忘れていましたが、
2^2^y=4(x-1)
の式まで(x-1)部分を除いて考えています。
こういう事は式としてあり得ないとは分かっていますが。

y=2log2 2だけの部分だけを最初の2行は計算しています。

回答No.2

hg3

loga M^p =p×loga M
の間違いではないでしょうか。
（ちなみにaのb乗は、通常 a~b ではなく a^b と表記します。）

log a Mp
↓
a~r=M
これが全く意味不明。rって何ですか？
さらに

a~r=M
↓
(a~r)=Mp
となるのもどう考えてもおかしいですよ。
左辺に（　）つけただけなのに何故右辺にpをかけることができるのでしょう？

(a~r)=Mp
↓
a~r~p=Mp
ということは、aのr乗＝ａのr乗のp乗となりますが、そんなはずありませんよね。　

つまり、ここの部分の式の変形は最初から最後まで間違っています。
もう一度、教科書または参考書を良く調べ直してしてください。

お礼

回答ありがとうございます。

この部分の説明が足りなかったようです。
最初に言っておきたいのは、この式は間違いではありません。
授業中に習ったものをそのまま書いただけなので。

＞loga M^p =p×loga M
の間違いではないでしょうか

失礼しました。loga MpもlogaM^pも同じ意味として取れると思い、そう書いたのですが^を入れるようにします。

a^r=M⇔r=loga Mと書くつもりでしたが、指摘されて右側を書いていないことに気が付きました。

問題自体が示しなさいという証明問題ですので
定義としてa^r=M⇔r=loga Mが登場します。

この部分に抜け落ちがあったせいで、混乱させてしまったかと思います。
失礼しました。

回答No.1

alice_44

貴方の考えは、一行目の「2のｙ乗＝2」からして
何やってるのかサッパリ解りません。
間違いの箇所を指摘して欲しいのであれば、
どんな式変形をしたのか、各行間を少し説明してください。

グラフが書ければいいのなら、
f(x) = log2 x と名前をつけてしまえばいい。
「y = 2 f( 2(x-1) ) のグラフを書きなさい」
という問題です。
y = log2 x のグラフは既知(ですよね？)として、
y = f(x) のグラフを x 軸方向に 1/2 倍に圧縮して、
y = f(2x)。これを x 軸方向に +1 平行移動して、
y = f(2(x-1))。これを y 軸方向に 2 倍に拡大して、
y = 2f(2(x-1))。
これで、グラフは書けます。

お礼

回答ありがとうございます。

私の間違いに関してですが質問文にも書きましたが
この問題を解く直前にやったploga Mの性質を証明する解き方に感化されて
2のｙ乗＝2になりました。

質問文、後半あたりに、その性質の証明も書いてあるかと思いますが、
それと同じやり方を、当てはめました。