この文章の和訳をお願いします。

質問

Accordingly, in our study, it is sufficient to try to find collision orbits with a limited range of b, i.e., b_min<b<b_max. Thus, the collisional rate <P(e, i)> is written practically as (see Eq. (10))

<P(e, i)>=∫[b_max→b_max](3/2)db(4b/(2π)^2)∫[0→2π]dτ∫[0→π]dωp_col(e, i, b, τ,ω). 　　　　　　　 ・・・・・・(14)

Unfortunately, we cannot predict b_min and b_max definitely. As to b_max, we only know its upper limit from the Jacobi integral E of Hill’s equations, given by (see Hayashi et al., 1977 and Paper I),

E=(1/2){e(r)^2+i(r)^2}-(3/8)b(r)^2-(3/r)+(9/2). ・・・・・・(15)

Particles with E<0 cannot enter the Hill sphere and never collide with the protoplanet. The condition E>0 yields an upper limit of b_max, in terms of orbital elements at infinity (r→∞),

b_max<{(4(e^2+i^2)/3)+12}^(1/2). 　　　・・・・・・(16)

By the following consideration, a lower limit of b_min can also be estimated. First, we will find a turn-off point of the horseshoe orbit of the guiding center (see Fig.1). In the two-dimensional case, Hénon and Petit (1986) have found that the variation of e is much smaller than that of b at a large distance. This suggests that, as a first order approximation, we can neglect the variations of e and I compared to the b variation also in the three-dimensional case. Thus, assuming that both e and I are invariant, we have from Eq. (15)

b(r)^2+(8/r)=b^2, 　　　 　　　・・・・・・(17)

where b is the semimajor axis at infinity.

Fig.1. Example of an orbit with small b. Dashed curve denotes the trajectory of the guiding center. Turn-off point of the guiding center y_t and Hill sphere (x^2+y^2=1) are also shown.

長文ですがよろしくお願いします。

回答No.2

ddeana · ベストアンサー

したがって我々の研究では、bの最小値<b<bの最大値（※1）というbの限定範囲内での衝突軌道をみつけだすことで十分である。これまで衝突速度 <P(e, i)>は事実上、次のように記載されている（方程式10を参照）

<P(e, i)>=∫[b_max→b_max](3/2)db(4b/(2π)^2)∫[0→2π]dτ∫[0→π]dωp_col(e, i, b, τ,ω). 　　　　　　　 ・・・・・・(14)

残念ながらbの最小値と最大値を正確に予測することは出来ない。bの最大値について、その上限をヒルの方程式における、ヤコビ積分定数（※2）から知っているだけにすぎない。方程式は下記である（1977年林その他、および第1論文を参照）

E=(1/2){e(r)^2+i(r)^2}-(3/8)b(r)^2-(3/r)+(9/2). ・・・・・・(15)

Eが0よりも小さな粒子はヒル球に入ることが出来ず、決して原始惑星と衝突はしない。軌道要素が無限 (r→∞)と考えると、Eが0よりも大きいという条件は、bの最大値の上限をもたらすこととなる。

b_max<{(4(e^2+i^2)/3)+12}^(1/2). 　　　・・・・・・(16)

以下の点に留意すれば、bの最小値の下限もまた予測可能である。第一に、プラズマの馬蹄形軌道における折り返し点を見つける（図1を参照）。　二次元においてはヘノンとプティ（1986年）が、eの変化は、遠く離れたbのそれよりもはるかに小さいことを見つけている。これは、第一次近似として、3次元においてもbの変化と比較してe とIの変化を無視できることを示唆している。よって、e とI双方が不変であると仮定して次の方程式となる。（15）。

b(r)^2+(8/r)=b^2, 　　　 　　　・・・・・・(17)

ここでは、bは無限大での半主軸である。

図1：小さなbをもつ軌道例。破線で描かれた曲線はプラズマの軌跡である。プラズマ y_t の折り返し点とヒル球(x^2+y^2=1)についても示されている。

※1：b_min→bの最小値　b_max→bの最大値　数学、力学などで使われる表示方法です。
※2：the Jacobi integral→ヤコビ積分とは円制限3体問題における保存量のことです。たぶんラグランジェポイントなどを学ばれた時に、聞いたことがおありになるのではと思います。

お礼

おかげさまで内容をつかむことができました。
いつもありがとうございます。

回答No.1

SPS700

したがって、我々の研究では、 b, i.e., b_min<b<b_max　の限られた範囲で衝突軌道を見つけ出すのは十分である。このため、 <P(e, i)> の衝突率は実際には、<P(e, i)>=∫[b_max→b_max](3/2)db(4b/(2π)^2)∫[0→2π]dτ∫[0→π]dωp_col(e, i, b, τ,ω). 　　　　　　　 ・・・・・・(14)
　　（Eq. (10)参照）として表す。

　　　　不幸なことに、われわれは、b_min および b_max　を正確に予期することは出来ない。 b_max　に関しては、E=(1/2){e(r)^2+i(r)^2}-(3/8)b(r)^2-(3/r)+(9/2). ・・・・・・(15)(Hayashi et al., 1977 and Paper I　　参照）で示された、ヒルの数式の Jacobi integral E からその上限が分かるだけである。

　　　　 E<0 の粒子は、天空に入れないし、原始惑星と衝突することはない。 E>0　条件は、b_max<{(4(e^2+i^2)/3)+12}^(1/2). 　　　・・・・・・(16)

　　　　軌道要素が無限(r→∞)の場合、b_max　の上限を得る。

　　　　　次のような考慮によって　b_minの下限も予期できる。第一に、ガイディングセンター（第一図参照）の馬蹄軌道の折れ曲がり点を我々は見つける。二次元の場合、Hénon and Petit (1986)は、e　の変種は、遠距離の　b　より遥かに小さいことを発見した。ということは、第一次的な近似によって（＝大雑把に言って）　e　および　l　の変異は、三次元の場合でも、b　の変異に比べれば無視できることを示唆している。こうして、e　も　l　も変わらないと考えれば、　Eq. (15)から、b　の長半径を、無限とした場合
　b(r)^2+(8/r)=b^2, 　　　 　　　・・・・・・(17)
　　を得る。

第一図　b　が小さい時の軌道の例。点線のカーブは、ガイディングセンタ－の軌跡を表す。ヒル天球 (x^2+y^2=1)、およびガイディングセンター　y＿tの折り返し点も示す。

お礼

どうもありがとうございました。
感謝しております。