ルンゲクッタ法について

質問

ルンゲクッタ法についての問題なのですがよくわかりません。

常微分方程式 du/dt=u について、ルンゲクッタ法（3次.4次）による誤差分析を行えという問題です。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

呆れた。それを他人にやらすんですか？

dy/dx = f(x,y) に対するルンゲ・クッタ法
　　k1 = h f(x0, y0)
　　k2 = h f(x0 + h/2, y0 + k1 /2)
　　k3 = h f(x0 + h/2, y0 + k2 /2)
　　k4 = h f(x0 + h, y0 + k3)
　　k = (k1 + 2 k2 + 2 k3 + k4)/6
　　y1 = y0 + k
を

du/dt = u に適用すると、
　　k1 = h u0
　　k2 = h (u0 + k1 /2)
　　k3 = h (u0 + k2 /2)
　　k4 = h (y0 + k3)
　　k = (k1 + 2 k2 + 2 k3 + k4)/6
　　u1 = u0 + k
で、

ここから k1,k2,k3,k4,k を代入消去すると、
u1 = u0 + (k1 + 2 k2 + 2 k3 + k4)/6
　　　= u0 + (k1 + 2 k2 + 2 k3 + h (y0 + k3))/6
　　　= u0 + (k1 + 2 k2 + 2 h (u0 + k2 /2) + h (y0 + h (u0 + k2 /2)))/6
　　　= u0 + (k1 + 2 h (u0 + k1 /2) + 2 h (u0 + h (u0 + k1 /2) /2) + h (y0 + h (u0 + h (u0 + k1 /2) /2)))/6
　　　= u0 + (h u0 + 2 h (u0 + h u0 /2) + 2 h (u0 + h (u0 + h u0 /2) /2) + h (y0 + h (u0 + h (u0 + h u0 /2) /2)))/6

展開整理すると、
　　　u1 = u0{1 + h + (1/2)h^2 + (1/6)h^2 + (1/24)h^4}
になります。

多項式の整理は、自分でやってください。

補足

本当に有難うございました。

回答No.2

alice_44

dy/dx = f(x,y) に対する刻み幅 h のルンゲ・クッタ法は、
x = x0 での y の値 y0 から
x = x0 + h での y の値 y1 を、以下のように近似する。

k1 = h f(x0, y0)
k2 = h f(x0 + h/2, y0 + k1 /2)
k3 = h f(x0 + h/2, y0 + k2 /2)
k4 = h f(x0 + h, y0 + k3)
k = (k1 + 2 k2 + 2 k3 + k4)/6
y1 = y0 + k

これを du/dt = u に適用すると、
t = t0 での u の値 u0 に対して
t = t0 + h での u の値 u1 は、
u1 = u0{1 + h + (1/2)h^2 + (1/6)h^2 + (1/24)h^4}
と近似されることになる。

f(t,u) = u を使って、k1,k2,k3,k4,k を代入消去し、
多項式を整理するだけだから、自分で計算して確認してください。←[*]

これを、du/dt = u の厳密解 u1 = u0 e^h と比較すると、
e^h のマクローリン展開と 4 次項まで一致している。

[*] の計算過程を書けば、課題の答案にはなるんじゃない？

補足

そのやり方がよくわからないのですが、式と一緒に解説していただけると助かります

回答No.1

alice_44

ルンゲ・クッタ解を具体的に構成して、
厳密解 u=exp(t) のテイラー展開と比較し、
4 次近似になってることを確認すれば
いいのだけではないですか？
計算あるのみです。

補足

その式を書いてください。お願いします。