面積の最小値

質問

a>=0,0<r<√(4a-1)を満たす定数。
円x^2+(y-a)^2=r^2の接線と放物線y=x^2で囲まれる図形の面積の
最小値をaとrで表せ。
次のように考えました。途中の計算で行き詰まりました。間違いを指摘ください。
円の接点を(x1,y1)とおくと、接線はx1x+(y1-a)(y-a)=r^2
放物線y=x^2との交点のx座標は、(a-y1)x^2-x1x-a(a-y1)+r^2=0
の解であり、これをα、β、 α＜βとすると、β－α=√(x1^2+4a(a-y1)^2-r^2(a-y1))/(a-y1)
次に、(x1,y1)は円上の点より、x1^2=r^2-(a-y1)^2 これを上の式に代入して、
積分から求める図形の面積は(a-y1)(β－α)^3/6
=(a-y1){√(r^2-(a-y1)^2+4a(a-y1)^2-r^2(a-y1))/(a-y1)}^3/6 となり、a-y1=Ａと置いて
=A{√((4a-1)A^2-r^2A+r^2)/A}^3/6 となりましたが、
最小値を求められる式にできません。（最小値から、0<Ａ=<rの場合で考えればよい）
このあとが、続きませんでした。よろしくお願いします。

回答No.6

nag0720 · ベストアンサー

#3です。極座標で解く方法です。

x1=r*cosθ
y1=a+r*sinθ
として、
接線とy=x^2との交点の方程式を求めると、
x^2+(cosθ/sinθ)x-r/sinθ-a=0
この解をα、β（α＜β）とすると、
α+β=-cosθ/sinθ
αβ=-a-r/sinθ

(β-α)^2=(α+β)^2-4αβ
=cosθ^2/sinθ^2+4a+4r/sinθ
=1/sinθ^2+4r/sinθ+4a-1
=(1/sinθ+2r)^2+4a-1-4r^2

(β-α)^2の最小値は、
2r≧1のとき、sinθ=-1/(2r)で、4a-1-4r^2
2r＜1のとき、sinθ=-1で、(-1+2r)^2+4a-1-4r^2=4a-4r

これから、面積S=(β－α)^3/6の最小値は、
r≧1/2のとき、√(4a-1-4r^2)^3/6
r＜1/2のとき、√(4a-4r)^3/6

お礼

回答ありがとうございます
面積の間違いに気づきました。
極座標の変数変換は、わかりやすいです。
自分で、はじめから計算したいと思います。

回答No.5

mister_moonlight

怠惰で不注意な書き込みミス。。。。。。ｗ

(誤)　・-1≦-/r　つまり　0＜r≦1　の時、k＝-1　で最小値：√{4a-1-r＾3}＾3/6
(正)　・-1≦-/r　つまり　r≧1　の時、k＝-1　で最小値：√{4a-1-r＾3}＾3/6

回答No.4

mister_moonlight

定数が2個ある事から計算が面倒で、座標がこのままでは考えにくい事、が問題を複雑にしている。
座標を移動しよう。

断っておくが、以下の計算には全く自信ないから、検算して欲しい。

円：円x^2+y^2＝r^2　と　放物線：y＝x^2-a　‥‥(1)　を考える。
円周上の点{m、n}における接線は、mx＋ny＝r＾2　‥‥(2)　但し、m＾2＋n＾2＝r＾2　‥‥(3)
x軸に垂直な接線は、この放物線と異なる2個の交点を持つ事はないから、n≠0
よつて(2)と(1)を連立すると、nx＾2＋mx－{na＋r＾2}＝0　‥‥(4)　これの判別式＞0　つまり、4r＾2＞4a-1　‥‥(5)
(4)の2解をα、β{α＞β}とすると、求める面積：Ｓは　6Ｓ＝{α-β}＾3　。
解と係数を使うと、α-β＝√{Ｐ}とし、1/n＝kとすると、(2)と(5)から　｜k｜≧rの範囲で、下に凸の2次関数　Ｐ＝f{k}＝r＾2*{k＋1}＾2＋{4a－1－r＾2}の最小値を考えると良い。
・-1≧-/r　つまり　0＜r≦1　の時、k＝-1/r　で最小値：√4{a-r}＾3/6
・-1≦-/r　つまり　0＜r≦1　の時、k＝-1　で最小値：√{4a-1-r＾3}＾3/6

お礼

回答ありがとうございます
ちょっと勘違いしていました。
面積をそもそも間違っていました。
やっぱり、他の人の解答をみると、自分の間違いや
気づかないことに気づかされます。

回答No.3

nag0720

＞β－α=√(x1^2+4a(a-y1)^2-r^2(a-y1))/(a-y1)
＞積分から求める図形の面積は(a-y1)(β－α)^3/6

β－α=√(x1^2+4a(a-y1)^2-4r^2(a-y1))/(a-y1)
面積は(β－α)^3/6
ではないですか。

あと、x1,y1を極座標で表したほうが簡単になるかも。

回答No.2

naniwacchi

#1です。

よく考えてみると、面積は β-αの大小に依存していますよね。
ということは、β-αが最小になるときを考えればよいのでは？
そして、(β-α)^2で考えてもいいですよね・・・

お礼

何度も回答ありがとうございます。
(β-α)^3に(a-y1)もかけられているので
うまく行ってくれません。グラフが複雑になってしまいます。

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。
相加・相乗平均で解決？＾＾

お礼

回答ありがとうございます。
相加相乗も考えてみましたが、Ａの指数が分母と分子で異なり、
相殺されず断念してしまいました。