平方完成？について

質問

単元名が不確かなのですが
以前因数分解についての質問をして
自分の記憶が曖昧ななか質問をしたため、回答者の方に混乱を招いてしまったのですが

ある程度情報が整理できたので再度質問させていただきます。

因数分解とか平方完成あたりの単元の問題だと思います。

問題集でその問題にぶつかって分からないとかではなく、
他の単元をやってる最中にふと、あそこはよくつまづいたなと思い出し
急に気になり、質問させていただきます。

試験等では、その問題が出題される割合が少なく、覚えてもすぐ忘れてしまい、
あの解き方で解く問題だと思っても、いざ解こうと思うと、どうするんだっけという感じで
何回も説明を受けたのに身に付きませんでした。

例題を作る能力が無いため
数値的におかしいのですが下記のような問題です。

x^2+5x+12=0

問題の出され方も曖昧なのですが、文章題等文章が絡むような問題では無かったように思います。
単純にこの問題を解きなさいという計算問題だったかと思います。

解き方として

次の式が
(x+5/2)^2+23/4=0
こういうふうになる解き方です。
ここら辺の単元の時、不登校だったもので
母から教えてもらったものです。なのでサブ的な解き方かもしれません。

で、その…問題集でこういう問題にぶちあたったわけではないので
思い出せないところがあるのですが

こういう問題は結局答えはx=何かを求める問題という認識で合っていますか？
（(x+2)(x-3)=0はx=-2,3というような）

その場合、
(x+5/2)^2=-23/4
x+10/4+23/4=0
x+33/4=0
x=-33/4

という形でしょうか？

ちょっと例題が分数になってしまうような形になってしまったので
後々整数になって楽になるような例題を提示していただけると助かります。

回答No.5

adachirusan · ベストアンサー

こんにちは。
お母さまの使われたサブ的な解き方が、解の公式を使わない解き方だったなら
おそらく平方完成かなと思います。
（ちょっと例題が分数になってしまうようなと書いてありますが、実際に分数のかたちだったのでしょうか??）

なのでとりあえず、"平方完成で二次方程式を解くには"　で、進めてみます。

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

（前提）
(1)整数の範囲で因数分解できそうか試す。
(2)出来そうになければ平方完成してみる。

因数分解の公式は覚えていると書いてあったので、完全平方式に因数分解する時の公式

x^2 + 2ax + a^2 = (x + a)^2　
この式は知ってると思います。

x^2 + 2ax = (x + a)^2 - a^2
左辺のa^2を右辺に移項するとこんな式になります。大ざっぱに言うと、x^2 + ○x という式は平方の差（2乗から2乗を引いたもの）に出来るよ、ということです。

x^2 + ○x =(x+○の半分)^2-(○の半分)^2
x^2 - ○x =(x-○の半分)^2-(○の半分)^2
公式にしてみるとこんな感じです。○の部分は偶数でも奇数でも分数でもOKです。
もし○の部分が奇数なら、質問者さまが書いたように分数になります。

実際に使うとこんな感じだと思います。

x^2 - 2x -18
= (x-1)^2 -1 -18
= (x-1)^2 -19

ここで、19を√19の２乗と見なせば
　(x-1)^2-(√19)^2

となって、あとは因数分解するだけ！です。（出来ればちゃんと紙に書いて練習するのが良いと思います）

とりあえず、解の公式を証明するのは大変だと思うので、平方完成覚えてからでも大丈夫じゃないかな・・

お礼

回答ありがとうございます。

すごく分かりやすかったです。
スッキリしました。

回答No.6

birth11

ax^2+bx+c=0 (a≠0)を平方完成を利用してxについて解け。
というパターンで問題が出された時を想定しているのかと思います。
この平方完成の方法は、いろいろな参考書で同じように書かれていると思います。
それにもかかわらず、OKWaveで質問してくるということは、
平方完成の途中式の変形の意味がわかってないのだと思います。

ですので、途中式の変形の意味を書きながら解いていきたいと思います。

ax^2+bx+c=0…………………………(両辺からcを引く。左辺にxをもってきて右辺に数字を持ってくる。この場合xがついていないのでcを数字とみなしてください)
ax^2+bx=-c……………………………(両辺をaで割る)
x^2+(b/a)x=-c/a………………………(両辺に(b^2)/(4a^2)を足す。左辺を因数分解する)
{x+b/(2a)}^2=-c/a+(b^2)/(4a^2)…(右辺の分数の分母を(4a^2)にそろえる)
{x+b/(2a)}^2=-4ac/(4a^2)+(b^2)/(4a^2)…(両辺の平方根が等しいのでプラスマイナス2通りの平方根があることを踏まえて方程式を書く)
x+b/(2a)=±√{(-4ac+b^2)/(4a^2)}…(両辺からb/(2a)を引く。ルートの中の分母が(2a)^2なのでルートから外す。)
x={-b±√(b^2-4ac)}/(2a)……………(よく見る解の公式になる)

回答No.4

asuncion

＞(x+5/2)^2=-23/4

ここから

＞x+10/4+23/4=0

ここへの変形が、正しくありません。
質問者さんが虚数についてご存じかどうかはわかりませんが、
正しい変形は、

x + 5/2 = ±i√23/2
x = (-5 ± i√23)/2
です。

質問者さんが求めたx = -33/4が
もとの方程式 x^2 + 5x + 12 = 0を満たすかどうかは
代入してみればすぐにわかるはずです。

回答No.3

KEIS050162

因数分解しなさい、とか、平方完成しなさい、という様に親切に問題に書いてある場合は、公式を覚えてその通りに解く、ということでも良いのですが、
公式を覚える　≒　理解する
ということではないので、応用するとなると質問者殿の様に困惑するということでしょう。

二次関数のグラフ　という単元　（こういう名前だったかどうかは別として、二次関数をグラフで表しなさいということを学んだ単元）　辺りを徹底的に復習すると、一気に理解が進みます。

二次関数　y=ax^2+bx+cｙ　で、

y=0　即ち、　ax^2+bx+c=0　を解く、ということは　このグラフがｘ軸と交わる　ｘ座標を求めるという意味になります。因数分解して、x=　α、β　の時、このグラフはｘ軸と交わるということになります。
逆に言えば、ax^2+bx+c=0　の方程式を解きなさい、というのは、y=ax^2+bx+c　のグラフのx軸との交点を求めなさい、と同じ意味です。

更に平方完成して、
y=a(x-p)^2+q　　の形に変形するということは、このグラフの軸と頂点を求める、という意味になります。

二次関数は、放物線になり、aが正なら下に凸、負なら上に凸になります。

(x-p)^2　は、　最もこれが小さくなる時は、x=p　の時、即ち　0^2　になる時なので（二乗して負になる実数はない）、
x=p　、　y=q　が凸の頂点を表すことになります。その時の最大（もしくは最小。これはaの正負で決まる）がy=q　ということです。
グラフは左右対称になるので、軸は、x=p　となります。

軸と頂点が分かるなら、これを並行移動したり回転させたりするのも、平方完成の式から簡単に導き出せます。
（上記はかなり端折って説明していますが、これら一連を学ぶのが二次関数のグラフのところです）

ここには書きませんが、y=ax2+bx+c　をこの形のまま、平方完成して、y=0　とすると、二次方程式の解のの公式を導き出すことが出来ます。（トライしてみてください。）

ここまできっちり理解することが出来ると、二次関数が自然とグラフとして理解出来る様になり、この後二時不等式に入っても全然怖くないです。

数IAの範囲では、この二次関数のグラフをきっちり理解するのが、一番よいと思ってます。

頑張ってください。

回答No.2

banri_kashii

ごちゃごちゃ考える前に、その問題をどうしたいのかが見えない。
その目的が明確でないから、いらん事ばかり考えて堂々めぐりになる。

公式を丸覚えするのではなくて、自分で二次方程式の解の公式を導くとか
そういう基礎を疎かにするから、丸暗記しただけの知識が正確に運用できない。

何をどうするのに何が必要か、そういう事を、筋道を立てて考えましょう。
数学の勉強にもっとも必要な事です。

お礼

回答ありがとうございます。

その問題をどうしたいかって解きたいだけです。
ただ、ふと思いつきのようなものなので、手元に問題も無いため
こちらで質問させていただきました。

私は公式は図形の面積の求め方以外丸覚えしたことはないと思います。

回答No.1

shintaro-2

>こういう問題は結局答えはx=何かを求める問題という認識で合っていますか？
>（(x+2)(x-3)=0はx=-2,3というような）

まあ、あっているというか、
その場合問題としては、因数分解しなさいです。

aX^2*bx+c=0を解きなさい
と言う場合に、手段として例えば因数分解を使って、
X=○○、△△という答え方をします。

>その場合、
>(x+5/2)^2=-23/4
>x+10/4+23/4=0

違います。
(x+5/2)^2=(x+5/2)(x+5/2)ですから
書くのならX^2＋10/4・X+(5/2)^2+23/4=0となります。

(x+5/2)^2=-23/4ですから、2乗して負の数になるのは虚数ということです。

平方完成の使い方としては

(X+b)^2=c/a の形（元はaX^2+2abx+b^2-c=0）にしたら、

X+b=±√(c/a)となりますから
x＝-b+√(c/a)、-b-√(c/a)となります。

aX^2+bX+c=0を平方完成させれば、解の公式を導くことができます。