積分

質問

不定積分
∫1/x(x^2-4)^(1/2)dx

が解けません。よろしくお願いします。

回答No.1

info22_

http://okwave.jp/qa/q8108744.html
のNo2,No3で解答したものです。

回答があっても、何も補足もしないで放置して
同じ問題を重複投稿するのは、マナー違反になります。
補足するなり、お礼するなり、あるいは質問を閉じてから再投稿するようにしてください。分母は括弧をつけて
1/{x(x^2-4)^(1/2)}と書くか
1/{x√(x^2-4)}と書くように
して下さい。

積分変数の定義域を実数の範囲で考えるなら
分母≠0であることを考慮して
　x≠0,x^2-4＞0 ⇒
　∴ |x|＞2(すなわちx<-2またはx>2)　...(※)
となります。

最初に正しい積分結果は
I=∫1/{x√(x^2-4)}dx
=-arcsin(2/|x|)/2+C
=arccos(2/|x|)+C'
=arctan((|x|+√(x^2-4))/2)+C"
3通りの結果はいずれも正解です。
不定積分ですから定数分の差は積分定数に吸収されます。
なのでC,C',C"は同じ定数とはなりません。

なお、
arctan((x+√(x^2-4))/2)+C"
は被積分関数の定義域(※)での積分結果ではありません。
すなわちx>2の時の積分結果で
x<-2の時の積分結果を含んでいません。

３通りの積分結果から積分定数C,C',C"を除いた関数（原始関数、定数項だけの違いなのでグラフをy軸方向に平行移動すれば重なります）と被積分関数のグラフを描きましたので参考にして下さい。
　漸近線：x=±2
　被積分関数：黒実線
　arcsin使用の積分結果：青実線
　arccos使用の積分結果：紫実線
　arctan使用の積分結果：赤実線
です。

他の置換による別解
定義域|x|>2で
x=2/sin(t)とおくと
sin(t)=2/x
|x|>2よりsin(t)<1
xとtを1:1に対応させる為には　|t|<π/2 ...(◆)
t=arcsin(2/x) ...(▲)

sin(t)=2/xより　cos(t)dt=-2/x^2 dx
dx=-(x^2/2)cos(t)dt=-((2/sin(t))^2/2)*cos(t)dt
=-2cos(t)/(sin(t))^2 dt ...(A)

1/(x√(x^2-4)=(1/2)sin(t)/√((2/sin(t))^2-4)
=(1/4)sin(t)√{(sin(t))^2}/√{1-(sin(t))^2}
=(1/4)sin(t)|sin(t)|/√{(cos(t))^2}
=(1/4)sin(t)|sin(t)|/|cos(t)|
=(1/4)sin(t)|tan(t)|...(B)
(A),(B)より
I=∫1/{x√(x^2-4)} dx
=-(1/2)∫{cos(t)/sin(t)}|tan(t)| dt
=-(1/2)∫|tan(t)|/tan(t)dt

（◆）の|t|<π/2より場合分けして
0<=t<π/2の時　tan(t)>0なので|tan(t)|=tan(t)
I=-(1/2)∫1dt=-t/2+C
0>t>-π/2の時　tan(t)<0なので|tan(t)|=-tan(t)
I=-(1/2)∫(-1)dt=t/2+C
まとめて
|=-(1/2)|t|+C
(▲)の式のtを代入して変数tを変数xに戻すと
I=-(1/2)|arcsin(2/x)|+C
arcsinは奇関数なので
I=-(1/2)arcsin(2/|x|)+C
とも書けます。
（積分変数xの定義域は|x|>2です。）
と前の積分結果と同じ結果が得られます。

いずれの積分結果も逆三角関数を使った表現になります。
逆三角関数については参考URLをご覧下さい。

参考URL：

http://www.h6.dion.ne.jp/~ooya/Kougiroku/Bisekibun/Biseki02.pdf

この投稿のマルチメディアは削除されているためご覧いただけません。

お礼

どうも有難うございました。