http://okwave.jp/qa/q8108744.html
のNo2,No3で解答したものです。
回答があっても、何も補足もしないで放置して
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補足するなり、お礼するなり、あるいは質問を閉じてから再投稿するようにしてください。分母は括弧をつけて
1/{x(x^2-4)^(1/2)}と書くか
1/{x√(x^2-4)}と書くように
して下さい。
積分変数の定義域を実数の範囲で考えるなら
分母≠0であることを考慮して
x≠0,x^2-4＞0 ⇒
∴ |x|＞2(すなわちx<-2またはx>2) ...(※)
となります。
最初に正しい積分結果は
I=∫1/{x√(x^2-4)}dx
=-arcsin(2/|x|)/2+C
=arccos(2/|x|)+C'
=arctan((|x|+√(x^2-4))/2)+C"
3通りの結果はいずれも正解です。
不定積分ですから定数分の差は積分定数に吸収されます。
なのでC,C',C"は同じ定数とはなりません。
なお、
arctan((x+√(x^2-4))/2)+C"
は被積分関数の定義域(※)での積分結果ではありません。
すなわちx>2の時の積分結果で
x<-2の時の積分結果を含んでいません。
３通りの積分結果から積分定数C,C',C"を除いた関数（原始関数、定数項だけの違いなのでグラフをy軸方向に平行移動すれば重なります）と被積分関数のグラフを描きましたので参考にして下さい。
漸近線：x=±2
被積分関数：黒実線
arcsin使用の積分結果：青実線
arccos使用の積分結果：紫実線
arctan使用の積分結果：赤実線
です。
他の置換による別解
定義域|x|>2で
x=2/sin(t)とおくと
sin(t)=2/x
|x|>2よりsin(t)<1
xとtを1:1に対応させる為には |t|<π/2 ...(◆)
t=arcsin(2/x) ...(▲)
sin(t)=2/xより cos(t)dt=-2/x^2 dx
dx=-(x^2/2)cos(t)dt=-((2/sin(t))^2/2)*cos(t)dt
=-2cos(t)/(sin(t))^2 dt ...(A)
1/(x√(x^2-4)=(1/2)sin(t)/√((2/sin(t))^2-4)
=(1/4)sin(t)√{(sin(t))^2}/√{1-(sin(t))^2}
=(1/4)sin(t)|sin(t)|/√{(cos(t))^2}
=(1/4)sin(t)|sin(t)|/|cos(t)|
=(1/4)sin(t)|tan(t)|...(B)
(A),(B)より
I=∫1/{x√(x^2-4)} dx
=-(1/2)∫{cos(t)/sin(t)}|tan(t)| dt
=-(1/2)∫|tan(t)|/tan(t)dt
（◆）の|t|<π/2より場合分けして
0<=t<π/2の時 tan(t)>0なので|tan(t)|=tan(t)
I=-(1/2)∫1dt=-t/2+C
0>t>-π/2の時 tan(t)<0なので|tan(t)|=-tan(t)
I=-(1/2)∫(-1)dt=t/2+C
まとめて
|=-(1/2)|t|+C
(▲)の式のtを代入して変数tを変数xに戻すと
I=-(1/2)|arcsin(2/x)|+C
arcsinは奇関数なので
I=-(1/2)arcsin(2/|x|)+C
とも書けます。
（積分変数xの定義域は|x|>2です。）
と前の積分結果と同じ結果が得られます。
いずれの積分結果も逆三角関数を使った表現になります。
逆三角関数については参考URLをご覧下さい。
お礼
どうも有難うございました。