微分の最大値の問題

質問

aを正の定数とする。３次関数f(x)=x^3-2ax^2＋a^2xの0≦x≦1における最大値M(a)を求めよ
という問題で
下記のURL先の画像の中央の文の ゆえに~ のところで因数分解されているのですがどうのようにして因数分解をしたかを教えていただきたいです。

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1497966509
よろしくお願いします。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

x^3-2ax^2＋a^2x-4a^3/27を(x-a/3)^2でわると(x-4a/3)が出てきます。

要するに多項式同士の割り算です。(url参照、中学校でもやったと思います。）

x^3-2ax^2＋a^2x-4a^3/27を(x-a/3)で割って（割り切れます）さらに(x-a/3)で割る方法

または

x^3-2ax^2＋a^2x-4a^3/27を(x-a/3)^2=x^2-2ax/3+a^2/9で割る方法があります。

組立除法というしゃれた方法もありますが使い間違えると痛い目にあいます。

参考URL：

http://www.e-learning-jp.net/teach_math/math2/text_1/1/01/001a.htm

お礼

普通に割り算するのですね。もっと楽な方法があると思っていました;
ありがとうございました。

回答No.1

spring135

x=a/3において極大値4a^3/27を持つが３次曲線であるので

この値をとる点がもう一つあるはずで、それを求めるために

x^3-2ax^2＋a^2x＝4a^3/27 (1)

を解こうとしています。

当然のことながらx=a/3ではy=4a^3/27とy=f(x)=x^3-2ax^2＋a^2xは接しているので(1)は

(x-a/3)^2を因数として持っているはずです。

x^3-2ax^2＋a^2x-4a^3/27を(x-a/3)^2でわると(x-4a/3)が出てきます。

つまり因数分解というより単なる割り算の問題です。

お礼

ありがとうございます。とてもわかりやすいです。
>x^3-2ax^2＋a^2x-4a^3/27を(x-a/3)^2でわると(x-4a/3)が出てきます。

この割り算のやり方がわかりません;
教えていただけないでしょうか?