数II 領域（基礎）の質問です。

質問

皆様いつもお世話になりありがとうございます。今回も宜しくお願い致します。

数IIの領域の問題です。

「x^2 + y^2≦5 のとき、2x+y の最大値および最小値と、その時のx, yの値を求めよ」　です。

何度も解いてみても答えが合わず、質問できる人もおらず困っています。
答えだけでなく、解き方も載せてくださると幸いです。

お手数をおかけ致しますが、宜しくお願い致します。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

x^2 + y^2 ≦ 5が示す領域は、原点を中心として半径が√5の円の内部
（円周上を含む）である。

2x + y = kとおく。y = -2x + kであるから、
傾き-2の直線が当該の円に接する場合（2つある）の
y切片のうち大きい方が最大値、小さい方が最小値、ということである。
x^2 + y^2 = 5 …… (1)
y = -2x + k …… (2)
(2)を(1)に代入する。
x^2 + 4x^2 - 4kx + k^2 = 5
5x^2 - 4kx + k^2 - 5 = 0 …… (3)

直線が円に接するということは、(3)の2次方程式が重解を持つということである。
判別式D/4 = 4k^2 - 5(k^2 - 5) = 0
4k^2 - 5k^2 + 25 = 0
k^2 = 25
k = ±5

1)k = 5の場合
(3)に代入する。
5x^2 - 20x + 20 = 0
x^2 - 4x + 4 = 0
(x - 2)^2 = 0
x = 2, y = 1

2)k = -5の場合
(3)に代入する。
5x^2 + 20x + 20 = 0
x^2 + 4x + 4 = 0
(x + 2)^2 = 0
x = -2, -1

∴(x, y) = (2, 1)のとき、最大値5, (-2, -1)のとき、最小値-5

お礼

お礼が遅くなってしまい、申し訳ありません。
とても分かりやすく、助かりました。ベストアンサーにさせて頂きます。どうもありがとうございました。

回答No.3

USB99

x=r・cosθ, y=r・sinθ 0≦r≦√5とおけるから
2x+y=r・(2・cosθ+sinθ)=√5r・(2/√5 cosθ+1/√5 sinθ)=√5r sin(θ+α)
ただしcosα=1/√5、sinα=2/√5
よってmaxはr=√5の時で5 minはr=√5でsin(θ+α)=-1の時で-√5

maxはθ+α=π/2の時、すなわちθ=π/2―αで
x=√5 cos(π/2―α)=√5 sinα=√5・2/√5=2、y=√5 sin(π/2-α)=√5・cosα=√5・1/√5=1
minはθ+α=3π/2の時で同様にして
....

お礼

お礼が遅くなってしまい、申し訳ありません。
ご回答どうもありがとうございました。

回答No.2

asuncion

おっと失礼。

＞x = -2, -1

x = -2, y = -1
です。

お礼

お礼が遅くなってしまい、申し訳ありません。
ご回答どうもありがとうございました。