統計量の行列表現について

質問

データセットx_i (i=1,2,...n)の 分散 v を考えます（式が面倒になるので、平均は０とします）。
通常でしたら、データの2乗の平均でいいのですが（平均は０なので）、これはデータセットの各データが均等の確率で現れるという前提で求められる分散です。
一般には、
v=Σ p(i) x_i^2
となると思います（p(i)はデータx_iが現れる確率）。

次にこれを行列で表すことを考えます。
データセットのベクトルをX （列ベクトル）とすると、
v = X^{T} W X
という行列の積になります。
ここでWは
W=diag (p_1, p_2,...p_n)
という対角行列で、まあ加重行列とでも呼びましょう。

さて、ここからが質問なのですが、この方式で歪度は表現できるのでしょうか？
平均が0なので、歪度はデータの3乗の平均です。加重を考えると、
歪度 = Σp(i)\times x_i^3
です。
これを X と Wで表現したいのですが、どうもうまくいきません。

何か知恵がございましたらよろしくご教示ください。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

2 乗和であることを反映して、W は添字が 2 個でした。
p_i は添字 1 個なのに、W に作り変えた訳です。

3 乗和のためにも、新たな係数を作ればいい。
A(i,j,k) = (i=j=kのとき)p_i,　(それ以外のとき)0 と置いて、
ΣΣΣ[i,j,kのすべての組み合わせについて] A(i,j,k) x_i x_j x_k
を計算すれば、目的の 3 乗和になります。

A は行列じゃなく、3 階テンソルになりますが。