確率・統計―カイ2乗統計量の分散の求め方

質問

確率・統計―カイ2乗統計量の分散の求め方
お世話になっております。
Yahoo知恵袋で見かけた未解決に終わった質問です。
3項分布に従うX,Y,Zより作られたカイ2乗統計量Tの平均と分散を求める問題です。添付画像をご覧になってください。
T=((X-Np)^2)/Np+((Y-Nq)^2)/Nq+((Z-Nr)^2)/Nr
E{T}のほうはカンタンにできましたが，V{T}の計算方法はわかりません。正解はもっておりませんが個人的には4または4に収束する値になると思いますが，いかがでしょうか。
以下の方向で努力してみました：(1)E{T^2} を求める。(2)Tの積率母関数を求める。(3)行列を使う。(4)確率関数で直接計算する。…不勉強のため失敗しました。
留学生のもので，下手な日本語で失礼いたしました。回答者様には言葉より数式で説明していただけるとありがたいのですが，数式の入力の面倒も十分承知しています。
おアドバイスだけでも，いただければ幸いです。心よりご教授をお願い致します。

回答No.1

noname#227064 · ベストアンサー

T^2を展開し、各項の期待値をX, Y, Zの同時分布の積率母関数から求めて地道に計算すればいいのでしょうが、面倒ですね。

手計算をする気がおきなかったので、Maximaを使いました。
実際の計算はX, Y, Zの同時分布の積率母関数を使わず、

A = (X-Np)/√(Np)
B = (X-Nq)/√(Nq)
C = (X-Nr)/√(Nr) = (X-N(1-p-q))/√(N(1-p-q))

とおき、A, B, Cの同時分布の積率母関数から、
E(T^2) = E((A^2 + B^2 + C^2)^2)
を計算しました。

M(a, b, c) := (p*%e^(a/sqrt(N*p))+q*%e^(b/sqrt(N*q))+(1-p-q)*%e^(c/sqrt(N*(1-p-q))))^N*%e^-(a*sqrt(N*p)+b*sqrt(N*q)+c*sqrt(N*(1-p-q)));
f(x, y, z) := (at(diff(M(a, b, c), a, x, b, y, c, z), [a = 0, b = 0, c = 0]));
ratsimp((f(4, 0, 0) + f(0, 4, 0) + f(0, 0, 4) + 2 * f(2, 2, 0) + 2 * f(0, 2, 2) + 2 * f(2, 0, 2)));

と入力して、X, Y, Zの同時分布の積率母関数M、a = b = c = 0における偏微分係数を求める関数fを定義し、最後にE(T^2)を求めたところ、

E(T^2) = 8-13/N+(pq+qr+pr)/pqrN

が得られました。
したがって、

V(T) = 4-13/N+(pq+qr+pr)/pqrN

であるので、

> 4に収束する値になると思いますが，いかがでしょうか。

が正しいことがわかりました。

お礼

遅れましたが，今日回答を締め切らせていただきます。
おかげさまで問題を解決できたと思います。重ねて感謝申し上げます。
これからもどうぞよろしくお願いいたします。

補足

quaestio先生，迅速なご回答，そして面倒な計算をしてくださり，本当にありがとうございます。
わたくしが解けない原因は，多項分布の同時積率母関数を忘れてしまったからでした。これから日本の大学院で数理統計を専攻するものとして，情けない限りです。
先生のご好意に答えるべく，この問題を一般の k 項分布の場合に拡張し，次のページにupload いたしました。お暇なときにでも，ご覧になっていただければ光栄です。
http://blog.goo.ne.jp/gotouikusa/e/76d6f4db44480d5e4da3ada0c09f1e56
これからも，厳しい御指導のほど，よろしくお願い申し上げます。今回は本当にありがとうございました。

＊ほかの方 (またはquaestio先生も) からのご意見もお伺いしたいので，もう少し待ってみることに致します。お許しください。＊