立方体を切断する平面について

質問

「図の頂点a ,頂点g を通る直線をLとするとき、立方体の外まで伸びている直線Lを含みこの立方体を等分に分割する平面を求めよ」という問題を自分で考えました。アタマの中では理解できなかったので模型を作ってようやくわかりました。

おそらく面acge を拡大した平面が答えとなると思うのですが、他にも無限にあると思います。

１．もっとも合理的な解答とその理由を教えてください。

２．また面acge を拡大した平面に直線L が含まれることはどうやって証明できますか？

私は空間の把握能力が劣っていると思われます。見ればわかる、はナシでお願いします。

回答No.2

MarcoRossiItaly · ベストアンサー

自明に思えることでも、言葉で表すのは一苦労ですね。

＞１．もっとも合理的な解答とその理由を教えてください。

最も合理的かどうかは分かりませんが、考えたことを書きます。

長方形 ACGE を含む平面を L の周りにθという小さな角度だけ回転させ、その平面と辺 CD が交点を持っている状況を考えます。その交点を C'、平面と辺 EF との交点を E' します。

このとき、長方形 ACGE を含む平面と AC'GE' を含む平面が成す角度はθであり、三角錐 C'ACG と E'AEG は互いに鏡像（鏡映）となっているので、2 つの三角錐の体積は等しいです。三角柱 ACDEGH と ACBEGF も体積が等しいので、回転後の平面により立方体が 2 分割されたできた 2 つの立体も、体積が等しいことになります。

上の考察では長方形 ACGE を含む平面からスタートしてそれを少し回転させましたが、ADGF や ABGH からスタートしても、同様なことが言えます。

つまりθの値としては 0°～ 360°、いくつであっても、2 分割されたできた 2 つの立体の体積は等しいことになります。

＞２．また面acge を拡大した平面に直線L が含まれることはどうやって証明できますか？

線分 AG は長方形 ACGE の対角線なので、AG は ACGE を含む平面に含まれています。また、AG は L の一部なので、L は AG を含む平面に含まれています。よって、L は ACGE を含む平面に含まれています。

お礼

一番わかりやすかったです。

ありがとうございます。

回答No.3

noname#199771

以下、「等分」の意味が鏡像の関係にある2つの立体の場合にも使
われると仮定しています。つまり、平行移動と回転だけでなく裏返し
を使って移り合う場合をも含むという意味です。

立方体は線分agの中点に関して点対称ですので、agを含む任意の
平面で分割すると、別れた2つの立体は互いに合同です。
agを含むどんな平面で切ってもいいです。

わかりにくければ、少々大げさですが以下のように考えてみたら如何
でしょうか。

agの中点を原点とみます。
agの垂直二等分面上の原点以外の一つの点pを固定して（pはC上に
あってもなくてもよい）、それぞれの点を原点を始点とする位置ベクト
ルと同一視して

A={q=(x,y,z)∈C;p・q≧0}
B={q=(x,y,z)∈C;p・q≦0}
（「・」はベクトルの内積）

と置くと、A、Bはagを通りopに垂直な平面をVによって分割された
Cの2つの部分とみることができます。

C=A∪B、A∩B=V∩C

ここまで確かめてみてください。

写像f:A→Bを、
f((x,y,z))=(-x,-y,-z)
によって定義すると、任意の(x,y,z)∈Aに対してf((x,y,z))∈Bであり、
逆に、任意の(x,y,z)∈Bに対してf((x,y,z))∈Aでもあります。

これも確かめてみてください。

　※もし確かめ方がわからなければ、座標を入れて考えてみる
　　のも一法です。
　　a=(1,1,1)、b=(1,1,-1)、c=(1,-1,-1)、d=(1,-1,1)、
　　e=(-1,1,1)、f=(-1,1,-1)、g=(-1,-1,-1)、h=(-1,-1,1)、および
　　C={(x,y,z);-1≦x≦1,-1≦y≦1,-1≦z≦1}
　　などとしてみるといいでしょう。

fは原点についての対称変換であって任意の二点間の距離を変え
ませんから、AとBは同じ形で同じ大きさで互いに鏡影の関係であ
ることがわかります。

＞２．また面acge を拡大した平面に直線L が含まれることはどう
＞やって証明できますか？

平面の任意の二点を結ぶ直線は元の平面に含まれることの
証明ですか？それは明らかとしか言いようがありません。
質問者さんが考える平面や直線の定義を書いていただければ、
説明できることがあるかもしれません。

お礼

詳しい説明ですが私には難解でした。

ありがとうございます。

回答No.1

okormazd

LGは立方体の回転対称軸だから、LGを含む任意の面が条件を満たすでしょう。だから、どこでもいい、無限にある。

お礼

ありがとうございます。