立方体の二等分割・三等分割・四等分割の方法

質問

立方体の等分割について

「頂点」、「辺」、「面と辺の中点」を通る「直線」で分割するという条件の下で、立方体を二等分割・三等分割・四等分割する場合に、条件があるのでどこかで限界が来ると思うのですが、その方法はそれぞれ何種類あるのでしょうか。

明確な数字や画像、参照URLなどありましたらご教示よろしくお願い致します。

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

立方体の全8頂点,全12辺,全6面と全12辺の中点を通る平面は存在しません。

立方体をそのそれぞれ
1つ以上の「頂点」と「辺」と「面と辺の中点」を通る平面で分割する
という条件とします。

1つ以上の辺を通れば辺の端点である頂点も通るから2つ以上の頂点を通り、
その辺の中点を通るので

立方体をそのそれぞれ
1つ以上の「辺」と「面の中点」を通る平面で分割する
という条件と同じになります。

1つ以上の「辺」を通る平面で2等分割する場合
その辺の対辺と辺に垂直な面の中点も平面を通るので

2等分割する場合は
立方体をその
1つ以上の「辺」を通る平面で2等分割する
という条件と同じになります。

6つの正方形ABCD,EFGH,ABFE,BCGF,CDHG,DAEHを面とする
立方体ABCD-EFGHを
1つ以上の「辺」を通る平面で
2等分割する場合、
断面が長方形ACGEの場合,辺AE,CG,面ABCD,EFGHの中点を通る
断面が長方形BDHFの場合,辺BF,DH,面ABCD,EFGHの中点を通る
断面が長方形AFGDの場合,辺AD,FG,面ABFE,CDHGの中点を通る
断面が長方形BEHCの場合,辺BC,EH,面ABFE,CDHGの中点を通る
断面が長方形ABGHの場合,辺AB,GH,面ADHE,BCGFの中点を通る
断面が長方形CDEFの場合,辺CD,EF,面ADHE,BCGFの中点を通る
の
6通り

立方体ABCD-EFGHを
1つ以上の「辺」と「面の中点」を通る2平面で
4等分割する場合、
2断面がACGE,BDHFの場合,ACGEは辺AE,CG,BDHFは辺BF,DH
,両方共に面ABCD,EFGHの中点を通る
2断面がAFGD,BEHCの場合,AFGDは辺AD,FG,BEHCは辺BC,EH
,両方共に面ABFE,CDHGの中点を通る
2断面がABGH,CDEFの場合,ABGHは辺AB,GH,CDEFは辺CD,EF
,両方共に面ADHE,BCGFの中点を通る
の
3通り

立方体をそのそれぞれ
1つ以上の「辺」と「面の中点」を通る2平面で3等分割できません。

お礼

使用していたパソコンのクラッシュで自分のIDにアクセス出来ない状態になっており、お礼が遅くなってしまいました。たいへん申し訳ありません。

非常に詳細かつ丁寧なご回答ありがとうございました。
素晴らしいの一言です！
勉強になりました。

また何かご縁ございましたらご教示よろしくお願い致します。

ありがとうございました。

回答No.1

muturajcp

立方体等の3次元立体は1次元「直線」で分割できません。
従ってその方法は0種類

お礼

ありがとうございました。

補足

ご回答ありがとうございます。

当方数学に関して知識が乏しいので、質問が少しおかしかったかもしれません。

立方体を『「頂点」・「辺」・「面と辺の中点」を通りつつ分割する、その断面は平面でなければならない』ということでしょうか。

高度な数学の概念などの事ではなく、例えば単純に立方体の形状をした粘土のかたまりを切り分ける時に、切り口が平面になるように二等分割・三等分割・四等分割する方法の数が知りたいという事です。

ご回答から察するに、貴殿は人並みならない非常に卓越した数学の知識と頭脳をお持ちのようでございます。当方の質問の解答をご存知のようでしたらご教示いただければ幸いです。

よろしくお願い致します。