平面の方程式

質問

ある立方体の内部に頂点（０，０，０）、（１，０，０）、（１，０，－１）、（１，－１，－１）を持つ四面体を考えたとき
どのようにすれば、
四面体を作る４つの平面の方程式を作ることができますか？
また、この４つの平面のそれぞれ２つの平面のなす角度を求めることができますか？

解説をよろしくお願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

平面の方程式の導出法は色々あります
A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,0,-1),D(1,-1,-1)とすれば
方法1）平面の方程式をax+by+cz+d=0…(A)とおき
A,B,C,Dの中の任意の3つの点の座標を代入すると未知数の関係から
(A)の式が導出できます。
例)△ABCの平面の方程式
d=0,a+d=0,a-c+d=0から a=c=0, by=0　→ 平面の式：y=0

方法2）媒介変数表現を使えば△ABCを含む平面αの方程式は
媒介変数表現：(x,y,z)=(s+t,0,-t)
媒介変数を消去した平面の方程式：y=0
となる。

あと同じように他の平面の方程式も方法1)または方法2)から導出できます。
△ABDを含む平面βの方程式　y-z=0

また平面のなす角の求め方は
例えば、△ABC含む平面αと△ABDを含む平面βのなす角θは、各平面の法線m,nのなす角に等しくなるので、mとnの内積から、θが導出できます。
例えば
△ABCの平面α:y=0の法線ベクトルm：(0,1,0)
△ABDの平面β:y-z=0の法線ベクトルn:(0,1,-1)
内積=1(√2)cosθ=0+1+0よりcosθ=1/√2→θ=π/4(rad)=45°

以上のやり方で解決するでしょう。

分からなければ、やった解答の計算を補足に書いて、行き詰っている箇所を質問して下さい。
、

補足

図までつけていただきありがとうございました。
自分で計算してみたら（自信ありませんが・・・）
ΔＡＣＤの平面の方程式は、
d=0 　a-c+d=0　 a-b-c=0　から
b=d=0 　a=c 　⇒ 　x+z=0
ΔＢＣＤの平面の方程式は
a+d=0 　a-c+d=0　 a-b-c-d=0 から
c=b=0 　a=-d 　⇒　　x-1=0
となりましたが正しいでしょうか？？

また、
ΔＡＣＤの平面の法線ベクトルは（1,0,1)
ΔＢＣＤの平面の法線ベクトルは (1,0,0)　で良いでしょうか？

回答No.3

info22

#2です。
A#2の補足の質問の回答
お書きの質問の平面の方程式とそれらの法線の方程式も全部合っていますよ。

お礼

ありがとうございました。
助かりました。

回答No.1

naniwacchi

解説といいますか、ヒントを以下に。

1)３つの点が与えられれば、その３点を通る平面を決定することができます。
（２つの点だけでは平面は決定できません）
2)平面には、それを特徴づけるものとして法線ベクトルがあります。
法線ベクトルのなす角度を考えることで、２平面のなす角度を求められます。

お礼

ありがとうございました。
頑張って計算してみます。